线性代数应该这样学第三版习题解答1.A

第1题解答: 因为 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$, 所以我们有\[\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}.\]从而可得\[c=\frac{a}{a^2+b^2},\quad d=-\frac{b}{a^2+b^2}.\]


第2题解答1: 通过直接计算, 我们有\[\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2},\]因此\[\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^3=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\cdot\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=1.\]这意味着 $\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ 是 1 的立方根.

第2题解答2: 注意到 \[(a+bi)+(a-bi)=2a,\qquad (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2,\] 所以\[\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}=-1,\qquad \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}=1.\]我们有 $\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ 是一元二次方程 $x^2+x+1=0$ 的一个根(韦达定理). 另一方面, 由公式\[x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),\]我们可以得到\[\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^3=1.\]


第3题解答: 如果我们知道 $i=e^{\pi i/2}$, 那么它的平方根为 $e^{\pi i/4}$ 和 $e^{(\pi i/2+2\pi i)/2}=e^{5\pi i/4}$.

注意到对任意的实数 $x$, 我们有 $e^{xi}=\cos x+i\sin x$. 因此\[e^{\pi i/4}=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}(1+i)}{2},\]\[e^{5\pi i/4}=\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}=\frac{-\sqrt{2}(1+i)}{2}.\]所以 $i$ 的平方根为 $\dfrac{\sqrt{2}(1+i)}{2}$ 和 $-\dfrac{\sqrt{2}(1+i)}{2}$.

另解: 当然我们也可以直接求解.

假设 $a+bi$ 是 $i$ 的平方根, 其中 $a,b$ 为实数, 那么我们有 $(a+bi)^2=i$. 这说明 $a^2-b^2=0$ 和 $2ab=1$. 由 $a^2-b^2=0$ 知 $a=b$ 或者 $a=-b$. 但是 $a=-b$ 说明 $1=2ab=-2a^2$. 由于 $a$ 是实数, 这不可能. 因此只能是 $a=b$.

如果 $a=b$, 那么 $2ab=2a^2=1$, 因此 $a=b=\pm \sqrt{2}/2$. 所以 $i$ 的平方根为 $\dfrac{\sqrt{2}(1+i)}{2}$ 和 $-\dfrac{\sqrt{2}(1+i)}{2}$.


第4题解答: 设 $\alpha=x+yi$, $\beta=z+wi$, 其中 $x,y,z,w\in\mathbb R$ 是实数, 我们有 \[\alpha+\beta=(x+yi)+(z+wi)=(x+z)+(y+w)i.\] 同理可得, \[\beta+\alpha=(z+wi)+(x+yi)=(z+x)+(w+y)i.\] 因为实数满足加法交换律, 所以 $x+z=z+x$ 和 $y+w=w+y$. 我们得到 $\alpha+\beta=\beta+\alpha$.


第5题解答: 设 $\alpha=x_1+y_1i$, $\beta=x_2+y_2i$, $\lambda=x_3+y_3i$, 其中 $x_1,x_2,x_3$ 和 $y_1,y_2,y_3$ 是实数. 于是 \begin{aligned} (\alpha+\beta)+\lambda=&((x_1+x_2)+(y_1+y_2)i)+(x_3+y_3i)\\ =&((x_1+x_2)+x_3)+((y_1+y_2)+y_3)i. \end{aligned} 同样地, 我们有 $\alpha+(\beta+\lambda)=(x_1+(x_2+x_3))+(y_1+(y_2+y_3))i$. 注意到\[(x_1+x_2)+x_3=x_1+(x_2+x_3)\]\[(y_1+y_2)+y_3=y_1+(y_2+y_3),\]因此有 $(\alpha+\beta)+\lambda=\alpha+(\beta+\lambda)$.


第6题解答: 设 $\alpha=x_1+y_1i$, $\beta=x_2+y_2i$, $\lambda=x_3+y_3i$, 其中 $x_1,x_2,x_3$ 和 $y_1,y_2,y_3$ 是实数. 于是有 \begin{align*} (\alpha\beta)\lambda=&((x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+y_1x_2)i)(x_3+y_3i)\\ =&((x_1x_2-y_1y_2)x_3-(x_1y_2+y_1x_2)y_3)\\&+((x_1x_2-y_1y_2)x_3+(x_1y_2+y_1x_2)y_3)i. \end{align*} 同样地, 我们有 \begin{align*} \alpha(\beta\lambda)=&(x_1+y_1i)((x_2x_3-y_2y_3)+(x_2y_3+y_2x_3)i)\\ =&(x_1(x_2x_3-y_2y_3)-y_1(x_2y_3+y_2x_3))\\&+(x_1(x_2y_3-y_2x_3)+y_1(x_2x_3+y_2y_3))i. \end{align*} 很容易看出\[ (x_1x_2-y_1y_2)x_3-(x_1y_2+y_1x_2)y_3=x_1(x_2x_3-y_2y_3)-y_1(x_2y_3+y_2x_3) \]和\[ (x_1x_2-y_1y_2)x_3+(x_1y_2+y_1x_2)y_3=x_1(x_2x_3-y_2y_3)-y_1(x_2y_3+y_2x_3), \] 所以我们推得 $(\alpha\beta)\lambda=\alpha(\beta\lambda)$.


第7题解答: 设 $\alpha=x_1+y_1i$, $\beta=x_2+y_2i$, 其中 $x_1,x_2$ 和 $y_1,y_2$ 是实数. 因为 $\alpha$ 是给定, 所以 $x_1,y_1$ 是给定的. 现在我们要求 $x_2,y_2$ 使得 $\alpha+\beta=0$.

如果 $\alpha+\beta=0$, 那么 \[ 0=\alpha+\beta=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i. \]这意味着 $x_2=-x_1$ 和 $y_2=-x_1$, 因此这样的 $\beta$ 最多只有一个.

另一方面, 令 $\beta=-x_1-y_1i$, 通过上面的计算我们知道 $\alpha+\beta=0$, 因此我们证明了存在性.

综上所述, 这样的 $\beta$ 有且仅有一个.


第8题解答: 通过第一题的解答我们知道了存在性. 现在我们来证明唯一性, 如果 $\alpha\beta=1$, 那么\[\beta=1\cdot\beta=\left(\frac{1}{\alpha}\cdot\alpha\right)\cdot\beta=\frac{1}{\alpha}\cdot\left(\alpha\cdot\beta\right)=\frac{1}{\alpha}\cdot1=\frac{1}{\alpha}.\]其中 $\dfrac{1}{\alpha}$ 来自第一题 而第三个等式来自第六题.


第9题解答: 设 $\alpha=x_1+y_1i$, $\beta=x_2+y_2i$, $\lambda=a+bi$, 其中 $x_1,x_2,a$ 和 $y_1,y_2,b$ 是实数. 那么 \begin{align*} \lambda(\alpha+\beta)=&(a+bi)((x_1+x_2)+(y_1+y_2)i)\\ =&(a(x_1+x_2)-b(y_1+y_2))+(a(y_1+y_2)+b(x_1+x_2))i\\ =&[(ax_1-by_1)+(ay_1+bx_1)i]+[(ax_2-by_2)+(ay_2+bx_2)i]\\ =&\lambda\alpha+\lambda\beta. \end{align*}


第10题解答: 因为 $(4,-3,1,7)+2x=(5,9,-6,8)$, 所以 \[2x=(5,9,-6,8)-(4,-3,1,7)=(1,12,-7,1),\]于是\[x=\frac{1}{2}(1,12,-7,1)=\left(\frac{1}{2},6,-\frac{7}{2},\frac{1}{2}\right).\]


第11题解答: 如果这样的 $\lambda\in\mathbb C$ 存在, 那么我们有 \[\lambda(2-3i)=12-5i,\]\[\lambda(-6+7i)=-32-9i.\]因此有 \[(2-3i)(-32-9i)=(-6+7i)(12-5i),\]这意味着\[37+78i=37+114i, \]但是这显然不可能. 所以这样的 $\lambda\in\mathbb C$ 不存在.


第12题解答: 设 $x=(x_1,\cdots,x_n)$, $y=(y_1,\cdots,y_n)$ 和 $z=(z_1,\cdots,z_n)$. 那么 \begin{align*} (x+y)+z=&((x_1,\cdots,x_n)+(y_1,\cdots,y_n))+(z_1,\cdots,z_n)\\ =&(x_1+y_1,\cdots,x_n+y_n)+(z_1,\cdots,z_n)\\ =&((x_1+y_1)+z_1,\cdots,(x_n+y_n)+z_n)\\ =&(x_1+(y_1+z_1),\cdots,x_n+(y_n+z_n))\\ =&(x_1,\cdots,x_n)+(y_1+z_1,\cdots,y_n+z_n)\\ =&(x_1,\cdots,x_n)+((y_1,\cdots,y_n)+(z_1,\cdots,z_n))\\ =&x+(y+z). \end{align*}其中第四个等号用到了 $\mathbb F$ 的加法结合律.


第13题解答: 设 $x=(x_1,\cdots,x_n)$. 那么 \begin{align*} (ab)x=&ab(x_1,\cdots,x_n)=((ab)x_1,\cdots,(ab)x_n)\\ =&(a(bx_1),\cdots,a(bx_n))=a(bx_1,\cdots,bx_n)\\ =&a(bx). \end{align*}其中第三个等号用到了 $\mathbb F$ 的乘法结合律.


第14题解答: 设 $x=(x_1,\cdots,x_n)$. 那么 \[ 1x=1(x_1,\cdots,x_n)=(1\cdot x_1,\cdots,1\cdot x_n)=(x_1,\cdots,x_n)=x. \]


第15题解答: 设 $x=(x_1,\cdots,x_n)$ 和 $y=(y_1,\cdots,y_n)$. 那么 \begin{align*} \lambda(x+y)=&\lambda((x_1,\cdots,x_n)+(y_1,\cdots,y_n))\\ =&\lambda(x_1+y_1,\cdots,x_n+y_n)=(\lambda(x_1+y_1),\cdots,\lambda(x_n+y_n))\\ =&(\lambda x_1,\cdots,\lambda x_n)+(\lambda y_1,\cdots,\lambda y_n)\\ =&\lambda x+\lambda y. \end{align*}


第16题解答: 设 $x=(x_1,\cdots,x_n)$. 那么 \begin{align*} (a+b)x=&(a+b)(x_1,\cdots,x_n)=((a+b)x_1,\cdots,(a+b)x_n)\\ =&(ax_1+bx_1,\cdots,ax_n+bx_n)\\ =&(ax_1,\cdots,ax_n)+(bx_1,\cdots,bx_n)\\ =&a(x_1,\cdots,x_n)+b(x_1,\cdots,x_n)\\ =&ax+bx. \end{align*}

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