线性代数应该这样学第三版习题解答1.B

第1题解答: 由定义我们知道\[(-v)+(-(-v))=0,\quad v+(-v)=0.\]因此 $v$ 和 $-(-v)$ 是 $-v$ 的加法逆元. 由于加法逆元是唯一的, 所以 $-(-v)=v$.


第2题解答: 如果 $a\ne 0$, 那么 $a$ 有乘法逆 $a^{-1}$, 即满足 $a^{-1}a=1$. 因此 \[v=1\cdot v=(a^{-1}a)v=a^{-1}(av)=a^{-1}\cdot 0=0.\]这里我们用到了 1.19 和 1.30 中的结合律.


第3题解答: 设 $x=\dfrac{1}{3}(w-v)$, 那么 \[v+3x=v+3\cdot \dfrac{1}{3}(w-v)=v+(w-v)=w.\]这证明了存在性.

现在我们来证明唯一性. 假设存在另一个向量 $x’$ 使得 $v+3x’=w$. 那么由 $v+3x’=w$ 可推出 $3x’=w-v$. 同样地, $3x=w-v$. 因此 \[3(x-x’)=3x-3x’=(w-v)-(w-v)=0.\]由第2题我们知道 $x-x’=0$. 唯一性得证.


第4题解答: (加法单位元)Additive identity: 必须存在一个元素 $0\in V$ 使得 $v+0=v$ 对所有的 $v\in V$ 成立; 这说明 $V$ 不能使空集.


第5题解答: 假设”加法逆条件”成立, 我们已经在 1.29 证明了 $0v=0$ 对任意的 $v\in V$ 都成立.

现在我们假设 $0v=0$ 对任意的 $v\in V$ 都成立. 我们要证明”加法逆条件”成立. 因为 $0v=0$ 对任意的 $v\in V$ 都成立, 我们有 \[ v+((-1)v)=1v+((-1)v)=(1+(-1))v=0v=0, \]这说明加法逆存在, 因此”加法逆条件”得证.


第6题解答: 这不是一个 $\mathbb R$ 上的线性空间. 考虑 1.19 中的分配律. 如果它是 $\mathbb R$ 上的线性空间, 我们将会得到 \[\infty=(2+(-1))\infty=2\infty+(-1)\infty=\infty+(-\infty)=0.\]因此对任意的 $t\in\mathbb R$, 我们有\[t=0+t=\infty+t=\infty=0.\]我们得到了矛盾, 因为加法单位是唯一的.

另解: 注意到\[(\infty + \infty) + (-\infty) = \infty + (-\infty) = 0,\]\[\infty + (\infty + (-\infty)) = \infty + 0 = \infty.\]这说明它不满足加法结合律, 所以不是线性空间.

您的鼓励是我写作最大的动力

如果您感觉我的解答质量不错,读后收获很大,不妨小额捐助我一下,让我有动力继续更新写出更多好答案.