线性代数应该这样学第三版习题解答1.C

第1题解答:

(a) $\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1+2x_2+3x_3=0\}$ 是 $\mathbb F^3$ 的线性子空间. 由 1.34 可知, 要证明一个子集是子空间, 我们只需要证明”加法单位”存在, 加法和数乘封闭.

“加法单位”存在: 显然 $\mathbb F^3$ 的加法单位 $(0,0,0)$ 被包含在子集 $\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1+2x_2+3x_3=0\}$ 里.

加法封闭: 如果 $(a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3)\in \{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1+2x_2+3x_3=0\}$, 那么\[a_1+2a_2+3a_3=0\quad\text{and} \quad b_1+2b_2+3b_3=0.\]因此\[(a_1+b_1)+2(a_2+b_2)+3(a_3+b_3)=(a_1+2a_2+3a_3)+(b_1+2b_2+3b_3)=0,\]这意味着 $(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)=(a_1,a_2,a_3)+(b_1,b_2,b_3)$ 也被包含在 $\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1+2x_2+3x_3=0\}$ 里.

数乘封闭: 如果 $(a_1,a_2,a_3)\in \{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1+2x_2+3x_3=0\}$, 那么 $a_1+2a_2+3a_3=0$. 对任意的 $\lambda\in\mathbb F$, 我们有\[\lambda a_1+2(\lambda a_2)+3(\lambda a_3)=\lambda(a_1+2a_2+3a_3)=0.\]这说明 \[\lambda(a_1,a_2,a_3)=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)\in \{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1+2x_2+3x_3=0\}.\]

(b) $\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1+2x_2+3x_3=4\}$ 不是 $\mathbb F^3$ 的子空间, 因为 $(0,0,0)$ 不在这个子集里.

(c) $\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1 x_2 x_3=0\}$ 不是 $\mathbb F^3$ 的子空间, 因为 $(1,1,0)$ 和 $(0,1,1)$ 在这个子集里, 但是它们的和 $(1,2,1)=(1,1,0)+(0,1,1)$ 不在这个子集里.

(d) $\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1=5x_3\}$ 是 $\mathbb F^3$ 的线性子空间.

“加法单位”存在: 显然 $\mathbb F^3$ 的加法单位 $(0,0,0)$ 被包含在子集 $\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1=5x_3\}$.

加法封闭: 如果 $(a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3)\in \{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1=5x_3\}$, 那么 $a_1=5a_3$ and $b_1=5b_3$. 因此\[a_1+b_1=5a_3+5b_3=5(a_3+b_3),\]这说明
$(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)=(a_1,a_2,a_3)+(b_1,b_2,b_3)$ 也被包含在 $\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1=5x_3\}$.

数乘封闭: 如果 $(a_1,a_2,a_3)\in \{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1=5x_3\}$, 那么 $a_1=5a_3$. 对任意的 $\lambda\in\mathbb F$, 我们有 $\lambda a_1=\lambda(5 a_3)=5(\lambda a_3)$. 这说明 \[\lambda(a_1,a_2,a_3)=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)\in \{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb F^3:x_1=5x_3\}.\]


第2题解答:

(a) 假设它是 $\mathbb F^4$ 的线性子空间, 那么 $(0,0,0,0)\in \mathbb F^4$ 被包含在这个子空间里, 因此 $0=5\cdot 0+b$. 所以 $b=0$. 反过来, 通过和第一题(d)问同样地步骤, 我们可以证明当$~b=0$ 时, 它的确是 $\mathbb F^4$ 的线性子空间.

(b) (c) 和 (d) 和第三题第四题类似.

现在我们考虑 (e). 定义所有极限为 $0$ 的复数列组成的集合为 $A$.

加法单位元: 显然 $(0,0,\cdots)\in A$.

加法封闭: 如果 $(a_1,a_2,\cdots),(b_1,b_2,\cdots)\in A$, 那么\[\lim_{n\to\infty}a_n=0,\quad\lim_{n\to\infty}b_n=0.\]显然我们有\[\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n=0+0=0.\]这意味着 $(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots)=(a_1,a_2,\cdots)+(b_1,b_2,\cdots)\in A$.

数乘封闭: 如果 $(a_1,a_2,\cdots)\in A$, 那么\[\lim_{n\to\infty}a_n=0.\]对任意的 $\lambda\in\mathbb C$, 显然我们有\[\lim_{n\to\infty}(\lambda a_n)=\lambda\lim_{n\to\infty} a_n=\lambda 0=0.\]这说明 $\lambda(a_1,a_2,\cdots)=(\lambda a_1,\lambda a_2,\cdots)\in A$.


第3题解答: 设由所有在区间 $(-4,4)$ 上可导且满足 $f’(-1)=3f(2)$ 的实值函数组成的集合为 $V$.

加法单位元: 显然恒为 $0$ 的常数函数 $f\equiv 0$ 被包含在 $V$ 里.

加法封闭: 如果 $f,g\in V$, 那么 $f$ 和 $g$ 是在 $(-4,4)$ 上可导的实值函数. 因此 $f+g$ 也是在 $(-4,4)$ 上可导的实值函数. 另外,\[(f+g)’(-1)=f’(-1)+g’(-1)=3f(2)+3g(2)=3(f(2)+g(2))=3(f+g)(2).\]这说明 $f+g\in V$, 即 $V$ 加法封闭.

数乘封闭: 如果 $f\in V$, 那么 $f$ 是在 $(-4,4)$ 上可导的实值函数. 因此, 对任意的 $\lambda\in \mathbb R$, $\lambda f$ 也是在 $(-4,4)$ 上可导的实值函数. 另外,\[(\lambda f)’(-1)=\lambda f’(-1)=\lambda (3f)(2)=3(\lambda f)(2).\]这说明 $\lambda f\in V$, 即 $V$ 数乘封闭.


第4题解答: 设由所有在区间 $[0,1]$ 上连续且满足 $\int_0^1f=b$ 的实值函数全体组成的集合为 $V_b$.

如果 $V_b$ 是 $\mathbb R^{[0,1]}$ 的线性子空间, 那么对任意的 $f\in V_b$, 我们有 $\int_0^1f=b$. 因为 $V_b$ 是 $\mathbb R^n$ 的线性子空间, 对任意的 $k\in\mathbb R$, 我们有 $kf\in V_b$. 因此\[b=\int_0^1(kf)=k\int_0^1f=kb,\]对任意的实数 $k$ 都成立. 因此只能是 $b=0$.

反过来设 $b=0$, 那么对任意的 $f,g\in V_0$ 和 $\lambda\in\mathbb R$. 我们有\[\int_0^1(f+g)=\int_0^1f+\int_0^1g=0+0=0.\]另外因为 $f$ 和 $g$ 是在区间 $[0,1]$ 上连续的实值函数, 所以 $f+g$ 也是在区间 $[0,1]$ 上连续的实值函数. 这说明 $f+g\in V_0$, 即 $V_0$ 加法封闭.

同样地, 我们有\[\int_0^1(\lambda f)=\lambda\int_0^1f=k0=0.\]因为 $f$ 是在区间 $[0,1]$ 上连续的实值函数, 所以 $\lambda f$ 也是在区间 $[0,1]$ 上连续的实值函数. 这说明 $\lambda f\in V_0$, 即 $V_0$ 数乘封闭. 另一方面, 零值常数函数 $f\equiv 0\in V_0$, 它是 $\mathbb R^{[0,1]}$ 的加法单位, 因此也满足 $V_0$ 的加法单位性质.

综上所述, 由 1.34, $V_0$ 是$\mathbb R^n$ 的线性子空间.


第5题解答: 因为我们考虑的是复线性空间, 所以如果 $\mathbb R^2$ 是 $\mathbb C^2$ 的复线性子空间的话, 我们有\[i(1,1)=(i,i)\notin\mathbb R^2,\]得到矛盾. 因此 $\mathbb R^2$ 不是复线性空间 $\mathbb C^2$ 的子空间.

注: 如果考虑 $\mathbb C^2$ 为 4 维实线性空间, 那么 $\mathbb R^2$ 是 $\mathbb C^2$ 的子空间.


第6题解答:

(a) 因为在实数域里 $a^3=b^3$ 当且仅当 $a=b$, 所以\[\{(a,b,c)\in\mathbb R^3:a^3=b^3\}=\{(a,b,c)\in\mathbb R^3:a=b\}.\]用类似于第一题第二题的方法, 我们显然可以知道它是 $\mathbb R^3$ 的线性子空间.

(b) 注意到\[x=\left(1,\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},0\right)\in\{(a,b,c)\in\mathbb C^3:a^3=b^3\}\]和\[y=\left(1,\frac{-1-\sqrt{3}i}{2},0\right)\in\{(a,b,c)\in\mathbb C^3:a^3=b^3\}.\]但是,\[x+y=(2,-1,0)\notin \{(a,b,c)\in\mathbb C^3:a^3=b^3\}.\]这说明 $\{(a,b,c)\in\mathbb C^3:a^3=b^3\}$ 对于加法不封闭, 因此不是 $\mathbb C^3$ 的线性子空间.

这说明考虑一个子集是不是线性子空间, 基底域 $\mathbb F$ 很重要.


第7题解答: 设 $\{(x,y)\in\mathbb R^2:x,y\in\mathbb Z\}$ 为 $U$, 那么显然 $U$ 不是空集. 如果 $(x_1,y_1)\in A$ 和 $(x_2,y_2)\in A$, 那么 $x_1,x_2,y_1,y_2\in\mathbb Z$. 因此 $x_1+x_2$ 和 $y_1+y_2$ 都是整数. 这说明\[(x_1+x_2,y_1+y_2)=(x_1,y_1)+(x_2,y_2)\in U,\]即 $U$ 加法封闭.

同样地, 因为 $(-x_1,-y_1)\in U$, 这说明 $U$ 对于加法取逆是封闭的. 但是, $U$ 对于数乘不封闭. 因为 $(1,1)\in A$ 然而 $\dfrac{1}{2}(1,1)\notin U$.

因此 $U$ 不是 $\mathbb R^2$ 的线性子空间.


第8题解答: 设 $\{(x,y)\in \mathbb R^2: x=0~\text{or}~y=0\}$ 为 $U$, 那么 $U$ 非空. 如果 $(x,0)\in U$, 则对任意的 $\lambda\in\mathbb R$, 我们有\[\lambda(x,0)=(\lambda x,0)\in U.\]类似地, $\lambda(0,y)\in U$, 因此 $U$ 对于数乘封闭. 但是, $(1,0),(0,1)\in U$ 而\[(1,1)=(1,0)+(0,1)\notin U.\]这说明 $U$ 对加法不封闭, 因而不是 $\mathbb R^2$ 的线性子空间.


第9题解答: 设从 $\mathbb R$ 到 $\mathbb R$ 的所有周期函数全体组成的集合为 $S$. 那么 $S$ 不是 $\mathbb R^{\mathbb R}$ 的线性子空间.

我们用反证法来证明. 如若不然, 我们有 $h(x)=\sin\sqrt{2}x+\cos x\in S$ 因为 $f(x)=\sin\sqrt{2}x$ 和 $g(x)=\cos x$ 都是从 $\mathbb R$ 到 $\mathbb R$ 的周期函数. 假设存在一个正实数 $p$ 使得 $h(x)=h(x+p)$ 对任意的 $x\in\mathbb R$ 成立, 那么 $1=h(0)=h(p)=h(-p)$. 这等价于 \[1=\cos p+\sin\sqrt{2}p=\cos p-\sin\sqrt{2}p,\]于是有 $\sin\sqrt{2}p=0$ 和 $\cos p=1$. $\cos p=1$ 可推出 $p=2k\pi$, 其中 $k\in \mathbb Z$. 但是 $\sin\sqrt{2}p=0$ 推出 $\sqrt{2}p=2l\pi$, 其中 $l\in\mathbb Z$. 因此 \[\sqrt{2}=\frac{2l\pi}{2k\pi}=\frac{l}{k}\in\mathbb Q,\]这是不可能的. 因此我们得到矛盾, 从而命题得证.


第10题解答:

加法单位: 由定义知 $0\in U_1$ 和 $0\in U_2$, 所以 $0\in U_1\cap U_2$.

加法封闭: 如果 $x\in U_1\cap U_2$ 和 $y\in U_1\cap U_2$, 那么 $x\in U_1$ 和 $y\in U_1$, 因此由$U_1$ 加法封闭知
$x+y\in U_1$. 同理可得 $x+y\in U_2$. 因此 $x+y\in U_1\cap U_2$.

数乘封闭: 如果 $x\in U_1\cap U_2$, 那么 $x\in U_1$. 所以对任一的 $\lambda\in\mathbb F$, 我们由 $U_1$ 数乘封闭可知$\lambda x\in U_1$. 同理可得 $\lambda x\in U_2$. 因此 $\lambda x\in U_1\cap U_2$.


第11题解答: 假设 $U_i$ 是 $V$ 的线性子空间, 其中 $i\in I$. 现在我们将要证明 $\cap_{i\in I}U_i$ 也是 $V$ 的线性子空间.

加法单位: 由定义知 $0\in U_i$ 对任意的 $i\in I$ 都成立, 因此 $0\in \cap_{i\in I}U_i$.

加法封闭: 如果 $x\in \cap_{i\in I}U_i$ 和 $y\in \cap_{i\in I}U_i$, 那么对任意给定的 $i\in I$, 我们有 $x\in U_i$ 和 $y\in U_i$, 因此由 $U_i$ 加法封闭可知 $x+y\in U_i$. 因此 $x+y\in \cap_{i\in I}U_i$.

数乘封闭: 如果 $x\in \cap_{i\in I}U_i$, 那么 $x\in U_i$ 对任意给定的 $i\in I$ 都成立. 现在任取 $\lambda\in\mathbb F$, 由于 $U_i$ 数乘封闭我们知道 $\lambda x\in U_i$. 因此 $\lambda x\in \cap_{i\in I}U_i$.


第12题解答: 设 $U$ 和 $W$ 是 $V$ 的线性子空间. 我们用反证法来证明.

如果 $U\cup W$ 是 $V$ 的线性子空间, 并且 $U\nsubseteq W$,$W\nsubseteq U$. 考虑 $u\in U\setminus W$ 和 $w\in W\setminus U$, 那么由 $U\cup W$ 是 $V$ 的子空间可知 $u+w\in U\cup W$. 因此 $u+w\in U$ 或 $W$.

如果 $u+w\in U$, 那么 $w=(u+w)-u\in U$. 我们得到矛盾.

如果 $u+w\in W$, 那么 $u=(u+w)-w\in W$. 我们仍然得到矛盾.

因此如果 $U\cup W$ 是 $V$ 的线性子空间, 则必然有 $U\subset W$ 或 $W\subset U$.

反过来,如果 $U\subset W$ or $W\subset U$. 不失一般性, 我们可以设 $U\subset W$. 那么 $U\cup W=W$ 显然是 $V$ 的线性子空间.


第14题解答: 很显然 $U$ 和 $W$ $\mathbb{F}^4$ 的线性子空间.

现在假设 $(x_1,x_1,y_1,y_1)\in U$ 和 $(x_2,x_2,x_2,y_2)\in W$, 那么 \begin{align*} &(x_1,x_1,y_1,y_1)+(x_2,x_2,x_2,y_2)\\=&(x_1+x_2,x_1+x_2,y_1+x_2,y_1+y_2) \in \{(x,x,y,z):x,y,z\in\mathbb F^4\}. \end{align*} 因此 $U+W\subset \{(x,x,y,z):x,y,z\in\mathbb F^4\}$.

对任意的 $x,y,z\in\mathbb F$, 我们有 $(0,0,y-x,y-x)\in U$ 和 $(x,x,x,z+x-y)\in W$. 但是, \[ (x,x,y,z)=(0,0,y-x,y-x)+(x,x,x,z+x-y)\in U+W, \]因此 $\{(x,x,y,z):x,y,z\in\mathbb F^4\}\subset U+W$.

结合以上几点, 我们得到 $U+W=\{(x,x,y,z):x,y,z\in\mathbb F^4\}$.


第15题解答: 因为 $U$ 是 $V$ 的线性子空间, 因此 $U$ 加法封闭. 所以对任意的 $x,y\in U$, 我们有 $x+y\in U$, 即 $U+U\subset U$.

注意到如果 $x\in U$, 那么 $x=x+0\in U+U$, 因此 $U\subset U+U$.

综上所述,我们有 $U+U=U$.


第16题解答: 给定 $x\in U$ 和 $y\in W$, 因为 $V$ 中的加法是可交换的, 我们有\[x+y=y+x\in W+U\]这说明 $U+W\subset W+U$. 同理可得 $W+U\subset U+W$. 所以 $U+W=W+U$.


第17题解答: 注意到在 $V$ 里, 我们有 $(x+y)+z=x+(y+z)$. 此题与第16题类似.

令 $x_i\in U_i$, $i=1,2,3$, 那么 \[(x_1+x_2)+x_3=x_1+(x_2+x_3)\in U_1+(U_2+U_3).\]因为任意一个 $(U_1+U_2)+U_3$ 里的元素都可以写成 $(x_1+x_2)+x_3$ 的形式, 这说明\[(U_1+U_2)+U_3\subset U_1+(U_2+U_3).\] 类似地, 我们有\[U_1+(U_2+U_3)\subset (U_1+U_2)+U_3.\]因此 $(U_1+U_2)+U_3=U_1+(U_2+U_3)$.


第18题解答: 如果 $U$ 是子空间加法中的加法单位, 那么对任意的 $V$ 的子空间 $W$, 我们有 $U+W=W$. 通过类似第15题第16题的方法,我们有 $U\subset W$. 因此唯一的可能性是 $U=\{0\}$, 实际上这也正好是加法单位. 因此 $\{0\}$ 是加法单位.

现在假设 $V$ 的子空间 $W$ 在子空间加法中有加法逆元, 那么存在 $V$ 的线性子空间 $S$ 使得 $W+S=\{0\}$. 因为 $W\subset W+S$,这说明只可能是 $W=0$.


第19题解答: 如下是一个反例.

令 $V=U_1=\{(a,b)\in{\mathbb R}^2:a,b\in{\mathbb R}\}$, $U_2=\{(a,0)\in{\mathbb R}^2:a\in{\mathbb R}\}$ 和 $W=\{(0,b)\in{\mathbb R}^2:b\in{\mathbb R}\}$.

容易看出 $U_1+W=U_2+W$, 但是 $U_1\ne U_2$.


第20题解答: 取 $W=\{(0,z,0,w)\in\mathbb F^4:z,w\in\mathbb F\}$. 因为 $(x,x,z,z)\in U$ 和 $(0,y-x,0,w-z)\in W$, 所以对任意的 $(x,y,z,w)\in\mathbb F^4$, 我们有\[(x,y,z,w)=(x,x,z,z)+(0,y-x,0,w-z)\in U+W.\]从而有 $\mathbb F^4=U+W$.

另一方面, 如果 $(x,y,z,w)\in U\cap W$, 那么由 $(x,y,z,w)\in U$ 我们必须有 $x=y$ 和 $z=w$.

类似地, 因为 $(x,y,z,w)\in W$, 我们有 $x=0$ and $z=0$. 因此, $x=y=0$ 和 $z=w=0$, 从而 $(x,y,z,w)=(0,0,0,0)$. 于是我们得到 $U\cap W=\{0\}$.

综上所述, 由 1.45 知 $F^4=U\oplus W$.


第21题解答: 因为在 $U$ 里前两个坐标可以随便选, 而后三个坐标和前两个坐标有关, 所以我们可以直接猜测取 $W$ 使得 $W$ 里的元素前两个坐标为零而后三个坐标可以随便选.

令 $W=\{(0,0,z,w,s)\in\mathbb F^5:x,y\in\mathbb F\}$.

如果 $(x,y,z,w,s)\in U\cap W$, 那么由 $(x,y,z,w,s)\in W$ 知 $x=y=0$. 另外, 因为 $(x,y,z,w,s)\in U$, 我们有 \[z=x+y,\quad w=x-y,\quad s=2x.\]所以 $z=w=s=0$, 从而 $U\cap W=\{0\}$.

另一方面, 对任意的 $(x,y,z,w,s)\in\mathbb F^5$, 因为\[(x,y,x+y,x-y,2x)\in U\]和\[(0,0,z-x-y,w-x+y,s-2x)\in W,\]我们有\[(x,y,z,w,s)=(x,y,x+y,x-y,2x)+(0,0,z-x-y,w-x+y,s-2x)\in U+W.\]所以 $\mathbb F^5=U+W$.

综上所述, 由 1.45 可知 $\mathbb F^5 =U\oplus W$.


第22题解答: 令 $$W_1=\{(0,0,z,0,0)\in\mathbb F^5:x,y\in\mathbb F\},$$ $$W_2=\{(0,0,0,z,0)\in\mathbb F^5:x,y\in\mathbb F\}$$ 和 $$W_3=\{(0,0,0,0,z)\in\mathbb F^5:x,y\in\mathbb F\}.$$ 用和第21题一样的方法(所以我就不重复一遍了, 如果有需要我可以补上)我们可以证明\[\mathbb F^5 =U\oplus W_1\oplus W_2\oplus W_3.\]


第23题解答: 如下是一个反例。

令 $V={\mathbb R}^2$, $U_1=\{(x,0)\in{\mathbb R}^2:x\in{\mathbb R}\}$, $U_2=\{(0,y)\in{\mathbb R}^2:y\in{\mathbb R}\}$ 和 $W=\{(z,z)\in{\mathbb R}^2:z\in{\mathbb R}\}$. 用和第21题同样的方法, 我们有\[V=U_1\oplus W \quad\text{和}\quad V=U_2\oplus W,\]但是 $U_1\ne U_2$.


第24题解答: 对任意的 $f\in {\mathbb R}^{\mathbb R}$, 定义
\[f_e(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2},\quad f_o(x)=\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}.\]那么显然有 $f_e,f_o\in{\mathbb R}^{\mathbb R}$.

另外, 对任意的 $x\in {\mathbb R}$, 我们有\[f_e(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=f_e(x)\]和\[f_o(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-f_o(x).\]因此 $f_e\in U_e$ 和 $f_o\in U_o$. 另外注意到\[f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}=f_e(x)+f_o(x),\]因此 $f=f_e+f_o\in U_e+U_o$. 因为 $f$ 是任意选定地, 所以我们得到${\mathbb R}^{\mathbb R}=U_e+U_o$.

由 1.45 可知, 要证明 ${\mathbb R}^{\mathbb R}=U_e\oplus U_o$, 只需证明 $U_e\cap U_o=\{0\}$. 设 $f\in U_e\cap U_o$, 那么有 $f\in U_e$ 知 $f(x)=f(-x)$ 对所有的 $x\in{\mathbb R}$ 成立; 另一方面, 由 $f\in U_o$ 知 $f(x)=-f(-x)$ 对所有的 $x\in{\mathbb R}$ 成立. 把 $f(x)=f(-x)$ 和 $f(x)=-f(-x)$ 加起来, 我们得到 $f(x)=0$ 对所有的 $x\in{\mathbb R}$ 成立. 因此 $f\equiv 0$, 这说明 $U_e\cap U_o=\{0\}$.

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