线性代数应该这样学第三版习题解答2.A

第1题解答: 我们只需要证明 $v_1$, $v_2$, $v_3$, $v_4$ 能表示成 $v_1-v_2$, $v_2-v_3$, $v_3-v_4$, $v_4$ 的线性组合. 注意到 \[v_1=(v_1-v_2)+(v_2-v_3)+(v_3-v_4)+v_4,\]\[v_2=(v_2-v_3)+(v_3-v_4)+v_4,\]\[v_3=(v_3-v_4)+v_4,\quad v_4=v_4,\]由定义 2.17 我们可以得到结论.


第2题解答:

(a) 如果 $v\ne 0$, 那么由习题1B的第2题 可知 $av=0$ 意味着 $a=0$, 因此 $v\in V$ 是线性无关的.

反过来, 如果 $v\in V$ 是线性无关的, 那么 $v\ne 0$. 否则, 我们有 $1v=v=0$, 即 $v$ 线性相关. 我们得到了矛盾.

(b) 如果 $v_1\in V$, $v_2\in V$ 是线性无关的, 则这两个向量必然不成比例. 否则的话, 不失一般性, 我们可以假设 $v_1=cv_2$, 那么 $1v_1+(-c)v_2=0$.这说明 $v_1\in V$, $v_2\in V$ 是线性相关的. 从而得到矛盾.

反过来, 如果 $v_1\in V$, $v_2\in V$ 线性相关, 那么存在 $a$ 和 $b$ 使得 $av_1+bv_2=0$, 其中 $a$ 和 $b$ 不全为零. 不失一般性, 我们可以设 $a\ne 0$, 那么由 $av_1+bv_2=0$ 可推出 $v_1=-\dfrac{b}{a}v_2$. 从而又得到了矛盾.

(c) 如果存在 $x,y,z,w\in\mathbb F$ 使得 \[ x(1,0,0,0)+y(0,1,0,0)+z(0,0,1,0)+w(0,0,0,1)=0, \]那么这说明 $(x,y,z,w)=(0,0,0,0)$. 因此 $x=y=z=w=0$, 所以这个向量组在 $\mathbb F^4$ 里相性无关.

(d) 我们只需要在定义 2.12 前的一句话, 那就是, “结论: 多项式的系数被多项式唯一确定”. 然后用定义 2.17 和 (c) 中类似地方法, 我们可以证明这个命题.


第3题解答: 如果我们能将 $(5,9,t)$ 写成 $x(3,1,4)+y(2,-3,5)$ 的形式, 那么问题就解决了. 因此我们只需要解出 $x,y$ 即可. 这说明\[3x+2y=5,\quad x-3y=9.\]这个方程组的解为 $x=3,y=-2$. 因此\[t=3\cdot 4+(-2)\cdot 5=2.\]也就是说\[3(3,1,4)+(-2)(2,-3,5)=(5,9,2).\]因此 $t=2$ 为所求.


第4题解答: 我们已经知道如果 $c=8$, 那么该向量组是线性相关的. 现在我们要证明如果这个向量组是线性相关的, 那么 $c=8$.

假设存在不全为零的 $x$, $y$ 和 $z$ 使得\begin{equation}\label{2a3}x(2,3,1)+y(1,-1,2)+z(7,3,c)=0.\end{equation} 那么我们有\[2x+y+7z=0,\quad\quad 3x-y+3z=0.\]解之可得 $x=-2z$ 和 $y=-3z$. 由于 $x$, $y$, $z$ 不全为零, 因此 $z$ 不为零. 但是, \eqref{2a3} 意味着\[x+2y+cz=0.\]将 $x=-2z$ 和 $y=-3z$ 代入上式, 我们有 \[-2z+2(-3)z+cz=0\iff (c-8)z=0.\]因此我们得到 $c=8$ (因为 $z\ne0$).

用同样的方法也可以解决第3题.


第5题解答:

(a) 假设存在实数 $x$ 和 $y$ 使得 $x(1+i)+y(1-i)=0$, 我们有\[0=x(1+i)+y(1-i)=(x+y)+(x-y)i.\]因此 $x+y=0$ 和 $x-y=0$, 于是有 $x=0$ 和 $y=0$. 因此 $(1+i,1-i)$ 在 $\mathbb R$ 上线性无关.


(b) 对于复数域 $\mathbb C$, 注意到\[i(1+i)+1(1-i)=(i-1)+(1-i)=0,\]所以 $(1+i,1-i)$ 在 $\mathbb C$ 上是线性相关的.


第6题解答: 假设存在数 $x$, $y$, $z$, $w$ 使得 \[x(v_1-v_2)+y(v_2-v_3)+z(v_3-v_4)+wv_4=0,\]那么\[xv_1+(y-x)v_2+(z-y)v_3+(w-z)v_4=0.\]因为 $v_1$, $v_2$, $v_3$, $v_4$ 在 $V$ 里线性无关, 所以 \[x=0,\quad y=x=0,\quad z-y=0,\quad w-z=0.\]因此我们得到 $x=y=z=w=0$. 这说明向量组\[v_1-v_2,v_2-v_3,v_3-v_4,v_4\] 也在 $V$ 里线性无关.


第7题: 该命题正确. 因为如果存在 $a_1$, $\cdots$, $a_m$ $\in\mathbb F$ 使得 \[a_1(5v_1-4v_2)+a_2v_2+\cdots+a_mv_m=0,\]我们有 \[5a_1v_1+(a_2-4a_1)v_2+a_3v_3\cdots+a_mv_m=0.\] 因为 $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_m$ 是线性无关的, 所以\[5a_1=0,a_2-4a_1=0,a_3=\cdots=a_m=0.\]从而得到 $a_1=a_2=\cdots=a_m=0$, 因此由定义 2.17 知向量组\[5v_1-4v_2, v_2, v_3,\cdots,v_m\]是线性无关的.


第8题解答: 该命题正确. 因为如果存在 $a_1$, $\cdots$, $a_m$ $\in\mathbb F$ 使得 \[a_1(\lambda v_1)+a_2(\lambda v_2)+\cdots+a_m(\lambda v_m)=0,\]我们有 \[(a_1\lambda) v_1+(a_2\lambda) v_2+\cdots+(a_m \lambda) v_m=0.\]因为 $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_m$ 是线性无关的, 所以\[a_1\lambda=a_2\lambda=\cdots=a_m\lambda.\]由于 $\lambda\ne 0$, 所以我们有 $a_1=a_2=\cdots=a_m=0$, 因此 $\lambda v_1$, $\lambda v_2$, $\cdots$, $\lambda v_m$ 是线性无关的.


第9题解答: 反例: 令 $w_i=-v_i$, 那么如果 $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_m$ 是线性无关的, 则由第8题可知 $w_1$, $w_2$, $\cdots$, $w_m$ 也是线性无关的. 但是, $v_1+w_1=0$, $v_2+w_2=0$, $\cdots$, $v_m+w_m=0$ 是线性相关的.


第10题解答: 因为 $v_1+w$, $\cdots$, $v_m+w$ 是线性相关的, 所以存在不全为零的数 $a_1$, $\cdots$, $a_m$ $\in\mathbb F$ 使得 \[a_1(v_1+w)+a_2(v_2+w)+\cdots+a_m(v_m+w)=0.\]因此我们有\[a_1v_1+\cdots+a_mv_m+(a_1+\cdots+a_m)w=0.\]如果 $a_1+\cdots+a_m=0$, 那么 $a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0$. 这将导致 $a_1=\cdots=a_m=0$, 与假设不符. 因此 $a_1+\cdots+a_m\ne 0$, 于是我们有\[w=-\frac{1}{a_1+\cdots+a_m}(a_1v_1+\cdots+a_mv_m)\in\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m).\]


第11题解答: 等价于证明 $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_m$, $w$ 是线性相关的当且仅当 $w\in \mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)$.

如果 $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_m$, $w$ 是线性相关的, 那么存在不全为零的数 $a_1$, $\cdots$, $a_m$, $b$ $\in\mathbb F$ 使得\begin{equation}\label{2a11}a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m+bw=0.\end{equation}如果 $b=0$, 则 $a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0$. 这将导致 $a_1=\cdots=a_m=0$, 与假设不符. 因此 $b\ne 0$, 现在我们由 \eqref{2a11} 知\[w=-\frac{1}{b}(a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m)\in \mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m).\] 反过来, 如果 $w\in \mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)$, 则存在 $a_1$, $\cdots$, $a_m$ $\in\mathbb F$ 使得 \[w=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m,\]则\[a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_mv_m-w=0.\]因此 $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_m$, $w$ 是线性相关的.


第12题解答: 注意到 $1$, $z$, $z^2$, $z^3$, $z^4$ 生成 $\mathcal{P}_4(\mathbb F)$, 因此由 2.23 知 $\mathcal{P}_4(\mathbb F)$ 里任意线性无关向量组最多只有 5 个多项式.


第13题解答: 用和第2题相同的方法, 我们可以证明 $1$, $z$, $z^2$, $z^3$, $z^4$ 是 $\mathcal{P}_4(\mathbb F)$ 中的一个线性无关组, 并且这个向量组里有 5 个多项式(长度为 5). 由 2.23 可知, 不存在只有 4 个多项式的向量组(长度为 4)生成 $\mathcal{P}_4(\mathbb F)$.


第14题解答: 如果存在 $V$ 里的向量数列 $v_1$, $v_2$, $\cdots$ 使得对任意的正整数 $m$, $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_m$ 是线性无关的, 则 $V$ 显然是无限维的.

现在设 $V$ 是无限维的, 那么 $V$ 不能被有限个向量线性表示(生成). 我们现在通过数学归纳法来得到满足条件的 $V$ 里的向量数列 $v_1$, $v_2$, $\cdots$. 任取 $v_1\ne 0$ 为 $V$ 中的一个非零向量. 因为 $V$ 是无限维的, 那么必然存在 $v_2\in V$ 使得 $v_2\notin \text{span}\{v_1\}$. 类似地, 如果 $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_m$ 是线性无关的, 那么必然存在 $v_{m+1}\in V$ 使得 $v_{m+1}\notin\text{span}\{v_1,\cdots,v_m\}$. 因为 $V$ 是无限维的, 我们可以一直重复这个过程. 因此我们得到 $V$ 里的向量数列 $v_1$, $v_2$, $\cdots$. 对任意给定的正整数 $m$, 由 2.21, 我们知道 $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_m$ 是线性无关的.


第15题解答: 设 $e_{i}=(0,\cdots,0,1,0,\cdots)$ 是一个第 $i$ 个坐标为 $1$ 其余坐标为零的数列. 很容易(和第2题(c)问类似)证明对任意的正整数 $m$, 都有 $e_1$, $e_2$, $\cdots$, $e_m$ 是线性无关的. 由第14题我们知道 $\mathbb{F}^{\infty}$ 是无限维的.


第16题解答: 定义如下在区间 $[0,1]$ 上连续的实函数\[f_n=\left\{ \begin{array}{ll} x-1/n, & \hbox{$x\geqslant 1/n$;} \\ 0, & \hbox{$x\in[0,1/n]$.} \end{array} \right.\]我们将证明\[f_{n+1}\notin\text{span}\{f_1,\cdots,f_n\},\]然后用第14题我们可以推出所有在区间 $[0,1]$ 上的实连续函数组成的实线性空间是无限维的.

如果 $f_{n+1}\in\text{span}\{f_1,\cdots,f_n\}$, 那么 \[f_{n+1}(x)=a_1f_1(x)+\cdots+a_nf_n(x).\]注意到 $f_1(1/n)=\cdots=f_n(1/n)=0$, 因此 $f_{n+1}(1/n)=1/(n(n+1))\ne 0$, 我们得到了矛盾. 所以命题得证.


第17题解答: 如果 $p_0$, $p_1$, $\cdots$, $p_m$ 在 $\mathcal{P}_m(\mathbb F)$ 里线性无关, 我们将考虑向量组 $z$, $p_0$, $p_1$, $\cdots$, $p_m$.

由 2.23 可知, 线性无关向量组的长度是小于或等于生成组(spanning list)的长度. 因为 $1$, $z$, $\cdots$, $z^m$ 是 $\mathcal{P}_m(\mathbb F)$ 的生成组, 因此 $\mathcal{P}_m(\mathbb F)$ 中线性无关向量组的长度不超过 $m+1$. 因此我们知道 $z$, $p_0$, $p_1$, $\cdots$, $p_m$ 是线性相关的(长度为 $m+2$), 故由第11题可知, 存在 $a_i\in\mathbb F$ 使得\begin{equation}\label{2a31}z=a_0p_0(z)+a_1p_1(z)+\cdots+a_{m+1}p_{m+1}(z).\end{equation} 注意到 $p_j(2)=0$ 对任意的 $j=0,\cdots,m$ 都成立, 由 $(\ref{2a31})$ 可推出 $2=0$. 因此我们得到了矛盾, 从而命题得证.

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