线性代数应该这样学第三版习题解答2.B

第1题解答: 只有空间 $\{0\}$ 满足条件.

如果存在一个不为零的向量 $v$ 组成一组基的话, 将 $v$ 换成 $2v$ 我们得到一组新的基. 因此这样的空间不能含有非零向量.

注意, 这里我们只考虑如 $\mathbb R$ 和 $\mathbb C$ 这样的特征为零的域, 因此 $v\ne 2v$. 对于有限域, 比如说 $\mathbb{F}_2$, 那么就有一些其他的解了.


第3题解答:

(a) $(3,1,0,0,0)$, $(0,0,7,1,0)$ 和 $(0,0,0,0,1)$.

(b) $(3,1,0,0,0)$, $(0,0,7,1,0)$, $(0,0,0,0,1)$, $(1,0,0,0,0)$ 和 $(0,0,1,0,0)$.

(c) 由 (b) 得 $W=\mathrm{span}\{(1,0,0,0,0),(0,0,1,0,0)\}$.


第4题解答:

(a) $(1,6,0,0,0)$, $(0,0,2,-1,0)$ 和 $(0,0,3,0,-1)$.

(b) $(1,6,0,0,0)$, $(0,0,2,-1,0)$, $(0,0,3,0,-1)$, $(1,0,0,0,0)$ 和 $(0,0,1,0,0)$.

(c) 由 (b) 知 $W=\mathrm{span}\{(1,0,0,0,0),(0,0,1,0,0)\}$.


第5题解答: 因为 $1$, $x$, $x^2$, $x^3$ 是 $\mathcal{P}_3(F)$ 的一组基, 因此 \[ 1+x^3,x+x^3,x^2+x^3,x^3 \]也是 $\mathcal{P}_3(F)$ 的一组基. 但是其中没有二次多项式.

这里我们用到了一个事实: 如果 $v_1,v_2,v_3,v_4$ 是 $V$ 的一组基, 那么\[v_1+v_4,v_2+v_4,v_3+v_4,v_4\]也是 $V$ 的一组基. 其证明和第6题类似.


第6题解答: 首先我们需要证明 $v_1+v_2,v_2+v_3,v_3+v_4,v_4$ 是线性无关的. 假设 \[0=a(v_1+v_2)+b(v_2+v_3)+c(v_3+v_4)+dv_4,\] 那么\[av_1+(a+b)v_2+(b+c)v_3+(c+d)v_4=0.\]因为$v_1,v_2,v_3,v_4$ 是 $V$ 的一组基, 这说明 $a=0$, $a+b=0$, $b+c=0$ 和 $c+d=0$. 解之可得 $a=b=c=d=0$, 因此 $v_1+v_2,v_2+v_3,v_3+v_4,v_4$ 是线性无关的.

现在注意到\[v_3=(v_3+v_4)-v_4,\quad v_2=(v_2+v_3)-(v_3+v_4)+v_4\]和\[v_1=(v_1+v_2)-(v_2+v_3)+(v_3+v_4)-v_4,\]我们可以推出 $v_1,v_2,v_3,v_4$ 能被\[v_1+v_2,v_2+v_3,v_3+v_4,v_4\]线性表示. 因此所有能被 $v_1,v_2,v_3,v_4$ 线性表示的向量也能被 $v_1+v_2,v_2+v_3,v_3+v_4,v_4$ 线性表示. 这说明 $v_1+v_2,v_2+v_3,v_3+v_4,v_4$ 生成 $V$.

综上所述, $v_1+v_2,v_2+v_3,v_3+v_4,v_4$ 也是 $V$ 的一组基.


第7题解答: 反例: 令 $V=\mathbb R^4$ , $v_1=(1,0,0,0)$, $v_2=(0,1,0,0)$, $v_3=(0,0,1,1)$, $v_4=(0,0,0,1)$ 和 \[U=\{(x,y,z,0)|x,y,z\in\mathbb R\}.\]那么它们满足题设条件, 但是因为 $(0,0,1,0)$ 不能被 $v_1,v_2$ 线性表示, 从而 $v_1,v_2$ 不是 $U$ 的一组基.


第8题解答: 首先我们证明 $u_1,\cdots,u_m,w_1,\cdots,w_n$ 是线性无关的.

假设存在数 $a_1,\cdots,a_m\in\mathbb F$ 和 $b_1,\cdots,b_n\in\mathbb F$ 使得 \[a_1u_1+\cdots+a_mu_m+b_1w_1+\cdots+b_nw_n=0.\]因为 $V=U\oplus W$ 我们有 $U\cap W=\{0\}$. \[a_1u_1+\cdots+a_mu_m=-(b_1w_1+\cdots+b_nw_n)\in U\cap W,\]从而 \[a_1u_1+\cdots+a_mu_m=0,\quad b_1w_1+\cdots+b_nw_n=0.\]注意到 $u_1,\cdots,u_m$ 是 $U$ 的一组基而 $w_1,\cdots,w_n$ 是 $W$ 的一组基, 所以只能是\[a_1=\cdots=a_m=0\] 和 \[b_1=\cdots=b_n=0.\]因此 $u_1,\cdots,u_m,w_1,\cdots,w_n$ 是线性无关的.

现在我们只需要证明 $u_1,\cdots,u_m,w_1,\cdots,w_n$ 生成 $V$.

对任意的 $v\in V$, 因为 $V=U\oplus W$ 所以存在 $u\in U$ 和 $w\in W$ 使得 $v=u+w$. 注意到 $u_1,\cdots,u_m$ 是 $U$ 的一组基而 $w_1,\cdots,w_n$ 是 $W$ 的一组基, 所以存在数 $a_1,\cdots,a_m\in\mathbb F$ 和 $b_1,\cdots,b_n\in\mathbb F$ 使得 \[u=a_1u_1+\cdots+a_mu_m,\]\[w=b_1w_1+\cdots+b_nw_n.\]因此 \[v=u+w=a_1u_1+\cdots+a_mu_m+b_1w_1+\cdots+b_nw_n,\]这说明任意的 $V$ 中的向量都能被 $u_1,\cdots,u_m,w_1,\cdots,w_n$ 线性表示. 因此 $u_1,\cdots,u_m$, $w_1,\cdots,w_n$ 生成 $V$.

综上所述, $u_1,\cdots,u_m,w_1,\cdots,w_n$ 是 $V$ 的一组基.

对任意的 $v\in U\cap W$, 如果我们能证明 $v=0$. 由于我们是任意选取 $v$ 的, 这说明只能是 $U\cap W=0$. 类似这样的步骤有时我会省略一些, 因为说出来实在是太繁琐. 比如说, 任取 $v\in V$, 如果证明了 $v\in W$, 那么就有 $V\subset W$.

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