线性代数应该这样学第三版习题解答3.A

第1题解答: 如果 $T$ 是线性的, 那么由 3.11 知\[(0,0)=T(0,0,0)=(b,0),\]从而 $b=0$. 另一方面我们也有 \[T(1,1,1)=T(1,1,0)+T(0,0,1),\]这等价于\[(1+b,6+c)=(b-2,6)+(3+b,0)=(1+2b,6).\]因此 $6+c=6$, 从而 $c=0$.

反过来, 如果 $b=c=0$, $T$ 显然是线性的. 见 3.4 或第3题.

既然是线性映射, 那么自然表达式是一次的, 像 $xyz$ 这种高次的项是不会出现的.


第2题解答: 我们先证明如果 $b=c=0$, 则 $T$ 是线性的. 设 $f,g\in \mathcal P(\mathbb R)$, 则我们容易算出有 \[(f+g)(4)=f(4)+g(4)\]和 \[(f+g)'(4)=f'(4)+g'(4).\]再者, 由于定积分是满足线性的, 所以\[\int_{-1}^2x^3(f+g)(x)dx=\int_{-1}^2x^3(f(x)+g(x))dx=\int_{-1}^2x^3f(x)dx+\int_{-1}^2x^3g(x)dx.\]由上述原因, 可得\begin{align*} T(f+g)=&(3(f+g)(4)+5(f+g)'(6),\int_{-1}^2x^3(f+g)(x)dx)\\ =&(3f(4)+5f'(6),\int_{-1}^2x^3f(x)dx)+(3g(4)+5g'(6),\int_{-1}^2x^3g(x)dx)\\ =&Tf+Tg. \end{align*}类似地, 我们可以证明$T(\lambda f)=\lambda Tf$ 对任意的 $\lambda\in \mathbb R$ 和 $f\in \mathcal P(\mathbb R)$ 成立. 因而 $T$ 是线性的.

反过来, 设上述线性映射为 $S$ (即 $b=c=0$ 时的). 由第5题可知 $T-S$ 也是线性的 (其实不需要第5题, 这个很容易证明). 这说明 \[(T-S)p=(bp(1)p(2),c\sin p(0))\]是线性的. 考虑 $f(x)=\pi/2$ 和 $g(x)=\pi/2$, 则 $f,g\in\mathcal P(\mathbb R)$. 我们有 \[ (T-S)(f+g)=(b\pi^2,c\sin \pi)=(b\pi^2,0) \]和 \[ (T-S)f+(T-S)g=(b\pi^2/2,c)+(b\pi^2/2,c)=(b\pi^2/2,2c). \]因此, 必须满足\[(b\pi^2,0)=(b\pi^2/2,2c).\]这说明 $b=c=0$.


第3题解答: 我们设 \[ T(1,0,\cdots,0)=(A_{1,1},\cdots,A_{m,1}), \]\[ T(0,1,\cdots,0)=(A_{1,2},\cdots,A_{m,2}), \]\[\cdots\cdots\]和\[ T(0,0,\cdots,0,1)=(A_{1,n},\cdots,A_{m,n}). \]注意到 $(1,0,\cdots,0)$, $(0,1,\cdots,0)$, $\cdots$ 和 $(0,\cdots,0,1)$ 是 $\mathbb F^n$ 的一组基, 因此由 3.5 的证明我们可以推出\[ T(x_1,\cdots,x_n)=(A_{1,1}x_1+\cdots+A_{1,n}x_n,\cdots,A_{m,1}x_1+\cdots+A_{m,n}x_n). \]


第4题解答: 假设存在数 $a_1$, $\cdots$, $a_m\in\mathbb F$ 使得 \[0=a_1v_1+\cdots+a_mv_m,\]则\[0=T(a_1v_1+\cdots+a_mv_m)=a_1Tv_1+\cdots+a_mTv_m.\]由于 $T v_1$, $\cdots$, $T v_m$ 是线性无关的, 因此 \[ a_1=\cdots=a_m=0, \]这说明 $v_1$, $\cdots$, $v_m$ 是线性无关的.


第5题解答: 我们只需要证明如果 $T$ 和 $S$ 是线性映射, 那么 $T+S$ 和 $\lambda T$ 也是线性映射, 其中 $\lambda \in\mathbb F$. 则 $\mathcal L(V,W)$ 关于加法和数乘都封闭, 从而使一个线性空间.

对任意的 $u,v\in V$, 我们有 \begin{align*} (T+S)(u+v)=&T(u+v)+S(u+v)=Tu+Tv+Su+Sv\\ =&(Tu+Su)+(Tv+Sv)=(T+S)u+(T+S)v. \end{align*} 第一个和最后一个等号成立是因为 3.6 中的定义, 第二个等号成立是因为 $T$ 和 $S$ 是线性映射.

类似地, 对 $\eta\in\mathbb F$, \begin{align*} (T+S)(\eta u)=&T(\eta u)+S(\eta u)=\eta Tu+\eta Su\\ =&\eta(Tu+Su)=\eta(T+S)u. \end{align*} 结合如上结论, 我们得到 $T+S$ 是一个线性映射.

再一次, 对任意的 $u,v\in V$, 我们有 \begin{align*} (\lambda T)(u+v)=&\lambda (T(u+v))=\lambda (Tu+Tv)\\ =&\lambda (Tu)+\lambda (Tv)=(\lambda T)u+(\lambda T)v. \end{align*} 第一个和最后一个等号成立是因为 3.6 中的定义, 第二个等号成立是因为 $T$ 是线性映射.

类似地, 对 $\eta\in\mathbb F$, \begin{align*} (\lambda T)(\eta u)=&\lambda(T(\eta u))=\lambda(\eta T( u))\\ =&\lambda\eta(Tu)=\eta(\lambda Tu)=\eta(\lambda T)u. \end{align*} 结合如上结论, 我们得到 $T$ 是一个线性映射.


第6题解答: 结合律: 由定义, 对任意 $x\in V$, 我们有\[ ((T_1T_2)T_3)x=(T_1T_2)(T_3x)=T_1(T_2(T_3x)), \]同时也有\[ (T_1(T_2T_3))x=T_1((T_2T_3)x)=T_1(T_2(T_3x)). \]因此 $((T_1T_2)T_3)x=(T_1(T_2T_3))x$ 对任意的 $x\in V$ 成立, 因此 $(T_1T_2)T_3=T_1(T_2T_3)$.

单位元(恒等映射): 对任意的 $x\in V$, 我们有 \[ (TI)x=T(Ix)=Tx \]while\[(IT)x=I(Tx)=Tx.\]因此 $(IT)x=(TI)x=Tx$ 对任意的 $x\in V$ 成立, 即 $IT=TI=T$.

分配率: 我们只需要证明 $(S_1+S_2)T=S_1T+S_2T$. 对任意的 $u\in U$, 我们有 \[ ((S_1+S_2)T)u=(S_1+S_2)(Tu)=S_1(Tu)+S_2(Tu), \]同时也有 \[ (S_1T+S_2T)u=(S_1T)u+(S_2T)u=S_1(Tu)+S_2(Tu). \] 因此 $((S_1+S_2)T)u=(S_1T+S_2T)u$ 对任意的 $u\in U$ 成立, 从而 $(S_1+S_2)T=S_1T+S_2T$. 类似地, 我们也可以证明 $S(T_1+T_2)=ST_1+ST_2$.


第7题解答: 因为 $\dim V=1$, 我们取定一个非零向量 $w\in V$, 则 $w$ 是 $V$ 的一组基.

现在任取 $T\in\mathcal L(V,V)$. 因为 $Tw\in V$ 而 $w$ 是 $V$ 的一组基, 所以 $Tw$ 可以被 $w$ 线性表示. 设 $Tw=\lambda w$, 下面我们证明对任意的 $v\in V$ 有 $Tv=\lambda v$.

因为 $v$ 可以被 $w$ 线性表示, 故可设 $v=kw$, 则\[Tv=T(kw)=kT(w)=k(\lambda w)=\lambda k w=\lambda (k w)=\lambda v.\]


第8题解答: 定义 $\varphi:\mathbb R^2\to\mathbb R$ 如下\[\varphi(x,y)=\begin{cases}y;\quad & 如果\, x\ne 0\\ 0;\quad &如果\, x=0\end{cases}.\]现在我们来验证对任意的 $a\in\mathbb R$ 和 $v=(x,y)\in \mathbb R^2$, 都有 $\varphi(av)=a\varphi(v)$.

如果 $ax\ne 0$, 则 $x\ne 0$. 因此 $\varphi(x,y)=y$, 从而\[\varphi(av)=\varphi(a(x,y))=\varphi(ax,ay)=ay=a\varphi(x,y).\]如果 $a=0$ 而 $x\ne 0$, 则同样有\[vp(av)=\varphi(0,0)=0=0\varphi(x,y)=a\varphi(v).\]如果 $x= 0$, 则有 $\varphi(x,y)=0$, 从而\[\varphi(av)=\varphi(a(x,y))=\varphi(0,ay)=0=a\varphi(x,y).\]但是 $1=\varphi(1,1)$ 而\[\varphi(1,0)+\varphi(0,1)=0+0=0.\]因此 $\varphi(1,1)\ne \varphi(1,0)+\varphi(0,1)$ 说明 $\varphi$ 不是线性映射.


第9题解答: 定义映射 $\varphi:\mathbb C\to\mathbb C$ 使得 $\varphi(a+bi)=a$, 其中 $a,b\in\mathbb R$. 如果 $w=\alpha_1+\beta_1 i$ 和 $z=\alpha_2+\beta_2 i$, 其中 $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta_1$ 和 $\beta_2$ 都是实数, 则我们有\[\varphi(w+z)=\varphi(\alpha_1+\beta_1 i+\alpha_2+\beta_2 i)=\alpha_1+\alpha_2=\varphi(w)+\varphi(z).\]但是, \[i\varphi(1)=i\ne \varphi(i\cdot 1)=0,\]因此 $\varphi$ 在 $\mathbb C$ 上不是线性的.

对于 $\varphi:\mathbb R\to\mathbb R$ 的情形, 请看 On sort-of-linear functions.


第10题解答: 注意到 $U\ne V$ 和 $S\ne 0$, 我们可以取 $u\in U$ 使得 $Su\ne0$ 和 $v\in V$ 但是 $v\notin U$, 那么 $u+v\notin U$. 否则的话 \[v=(u+v)-u\in U\]会导出矛盾. 因此由定义知 $T(u+v)=0$.

另一方面, $Tu+Tv=Su\ne 0$. 这说明 $T(u+v)\ne Tu+Tv$, 于是 $T$ 不是关于 $V$ 的线性映射.


第11题解答: 令 $u_1$, $\cdots$, $u_m$ 为 $U$ 的一组基, 由 2.33 知我们可以它扩展为 $V$ 的一组基 $u_1$, $\cdots$, $u_m$, $v_{m+1}$, $\cdots$, $v_n$. 定义 $T\in \mathcal L(V,W)$ 如下 \[Tu_i=Su_i,\quad Tv_{j}=0, \quad 1\le i\le m, m+1\le j \le n.\]由 3.5 可知这样的 $T$ 是存在的且唯一的. 那么对任意的 $u=a_1u_1+\cdots+a_mu_m$, $a_i\in\mathbb F$, 我们有 \begin{align*} Tu=&T(a_1u_1+\cdots+a_mu_m)\\ =&a_1Tu_1+\cdots+a_mTu_m\\ =&a_1Su_1+\cdots+a_mSu_m\\ =&S(a_1u_1+\cdots+a_mu_m)=Su. \end{align*}


第12题解答: 由习题2A的第14题可知存在一列向量 $W$ 中的向量 $w_1$, $w_2$, $\cdots$ 使得对任意的正整数 $m$, $w_1$, $w_2$, $\cdots$, $w_m$ 是线性无关的. 考虑线性映射 $T_i\in \mathcal L(V,W)$ 使得 $T_i(v_1)=w_i$, 其中 $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_n$ 是 $V$ 的一组基. 由 3.5 可知这样的 $T_i$ 存在. 我们将证明对任意的正整数 $m$, $T_1$, $\cdots$, $T_m$ 是线性无关的.

假设存在数 $a_1$, $\cdots$, $a_m\in\mathbb F$ 使得 \[a_1T_1+\cdots+a_mT_m=0.\]于是我们有 $(a_1T_1+\cdots+a_mT_m)(v_1)=0$, 即 \[a_1w_1+\cdots+a_mw_m=0.\]因为 $w_1$, $W_2$, $\cdots$, $w_m$ 是线性无关的, 这说明 $a_1=\cdots=a_m=0$. 因此 $T_1$, $\cdots$, $T_m$ 是线性无关的.

再次由习题2A的第14题可知 $\mathcal L(V,W)$ 是无限维的.


第13题解答: 因为 $v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_m$ 是线性相关的, 所以存在 $a_1$, $\cdots$, $a_m\in\mathbb F$ 使得 \[a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0,\]并且其中某个 $a_i\ne 0$, 我们取定这个下标 $i$. 那么令 $w_i\ne 0$ 而 $w_j=0$ 如果 $j\ne i$, 其中 $w_1$, $w_2$, $\cdots$, $w_m\in W$. 我们将证明 $T\in\mathcal L(V,W) $ 对每一个 $k=1,\cdots,m$ 满足 $Tv_k= w_k$.

我们用反证法. 如若不然, 我们有\[0=T(a_1v_1+\cdots+a_mv_m)=a_1w_1+\cdots+a_mw_m=a_iw_i.\]注意到由于我们的选择 $a_i\ne0$ 和 $w_i\ne 0$, 这样我们得到了矛盾. 从而命题得证.


第14题解答: 令 $e_1$, $\cdots$, $e_n$ 为 $V$ 的一组基, 定义 $T\in \mathcal L(V,V)$ 使得 \[Te_1=e_2,\quad Te_2=e_1,\quad Te_{i}=e_{i},\quad\text{对}\quad i\ge 2,\]和 $S\in \mathcal L(V,V)$ 使得 \[Se_1=e_1,\quad Se_2=2e_2,\quad Se_{i}=e_{i},\quad\text{对}\quad i\ge 2.\]由 3.5 可知这样的 $S$ 和 $T$ 是存在的. 于是 \[STe_1=Se_2=2e_2,\quad TSe_1=Te_1=e_2.\]因此 $STe_1\ne TSe_1$, 这说明 $ST\ne TS$.

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