线性代数应该这样学第三版习题解答3.B

第1题解答: 设 $V$ 为 5 维线性空间, 并且其一组基为 $e_1$, $\cdots$, $e_5$. 定义一个线性映射 $T\in\mathcal L(V,V)$ 如下\[Te_1=e_1,Te_2=e_2,Te_3=Te_4=Te_5=0.\]那么 $\mathrm{null} T=\mathrm{span}(e_3,e_4,e_5)$, 因此 $\dim \mathrm{null} T=3$.

类似地, $\mathrm{range} T=\mathrm{span}(e_1,e_2)$, 因此 $\dim \mathrm{range} T=2$.


第2题解答: 因为 $\mathrm{range} S \subset \mathrm{null} T$, 所以对任意的 $v\in V$ 我们有 $Sv\in \mathrm{null} T$, 从而 $TSv=0$ . 因此对任意的 $u\in V$, 我们有\[(ST)^2u=S[(TS)Tu]=S0=0,\]也就是说$(ST)^2=0$.


第3题解答: (a) 注意到 $\mathrm{range}~T=\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)$, 因此如果 $v_1$, $\cdots$, $v_m$ 线性生成 $V$, 那么\[\mathrm{range}~T=\mathrm{span}(v_1,\cdots,v_m)=V,\]从而 $T$ 是满射.

(b) 因为 $v_1$, $\cdots$, $v_m$ 是线性无关的, 所以 $z_1v_1+\cdots+z_mv_m=0$ 当且仅当 $(z_1,\cdots,z_m)=(0,\cdots,0)$. 因此 $\mathrm{null}~T=\{(0,\cdots,0)\}$, 这说明 $T$ 是单射.


第4题解答: 令 $e_1$, $\cdots$, $e_5$ 为 ${\mathbb R}^5$ 的一组基, $f_1$, $f_2$, $f_3$, $f_4$ 为 ${\mathbb R}^4$ 的一组基. 定义限行映射 $S_1,~S_2\in\mathcal L({\mathbb R}^5,{\mathbb R}^4)$ 如下 \[S_1e_i=0,\quad S_1e_4=f_1,\quad S_1e_5=f_2,\quad \text{其中}~i=1,2,3;\] \[S_2e_i=0,\quad S_2e_3=f_3\quad S_2e_5=f_4,\quad \text{其中}~i=1,2,4.\]显然我们有 $S_1,S_2\in \{T\in\mathcal L({\mathbb R}^5,{\mathbb R}^4):\dim \mathrm{null} T >2\}$. 另一方面, 我们有\[(S_1+S_2)e_1=0,\quad (S_1+S_2)e_2=0\]和 \[(S_1+S_2)e_3=f_3,\quad (S_1+S_2)e_4=f_1,\quad (S_1+S_2)e_5=f_2+f_4.\]这说明 $\dim \mathrm{null} (S_1+S_2)=2$. 因此 $\{T\in\mathcal L({\mathbb R}^5,{\mathbb R}^4):\dim \mathrm{null} T >2\}$ 对于加法不封闭, 从而我们得出它不是 $\mathcal L({\mathbb R}^5,{\mathbb R}^4)$ 的线性子空间.


第5题解答: 令 $e_1$, $e_2$, $e_3$, $e_4$ 为 ${\mathbb R}^4$ 的一组基. 定义 $T\in\mathcal L({\mathbb R}^4,{\mathbb R}^4)$ 如下 \[Te_1=e_3,Te_2=e_4,Te_3=Te_4=0.\]那么我们有 \[\mathrm{null} T=\mathrm{span}(e_3,e_4),\]和\[\mathrm{range} T=\mathrm{span}(e_3,e_4).\]因此 $\mathrm{range} T = \mathrm{null} T$.


第6题解答: 由 3.22 可知 \[ \dim \mathrm{range} T +\dim \mathrm{null} T=\dim({\mathbb R}^5)=5. \]如果 $\mathrm{range} T = \mathrm{null} T$, 我们将得到 $\dim \mathrm{range} T = \dim\mathrm{null} T=2.5$. 因为维数只能是整数, 我们得到了矛盾.


第7题解答: 令 $v_1$, $\cdots$, $v_n$ 为 $V$ 的一组基, $w_1$, $\cdots$, $w_m$ 为 $W$ 的一组基, 我们有 $2\le n\le m$. 定义限行映射 $T_1, T_2\in\mathcal L(V,W)$ 如下 \[T_1v_1=0,T_1v_i=w_i,i=2,\cdots,n\]和\[ T_2v_1=w_1,T_2v_2=0,T_2v_i=w_i,i=3,\cdots,n. \]那么 $T_1,T_2\in \{T\in\mathcal L(V,W): T~\text {不是单射}\}$.

但是, 另一方面我们有 \[ (T_1+T_2)v_1=w_1,(T_1+T_2)v_2=w_2,(T_1+T_2)v_i=2w_i,i=3,\cdots,n. \]由第3题(b)可知 $T_1+T_2$ 是单射. 因此 $\{T\in\mathcal L(V,W): T~\text {不是单射}\}$ is not 对于加法不封闭, 这说明它不是 $\mathcal L(V,W)$ 的子空间.


第8题解答: 设 $v_1$, $\cdots$, $v_n$ 是 $V$ 的一组基, $w_1$, $\cdots$, $w_m$ 是 $W$ 的一组基, 则我们有 $n\ge m\ge 2$.

定义 $T_1, T_2\in\mathcal L(V,W)$ (要定义线性映射只需要定义它的一组基下的像)如下 \[T_1v_1=0,T_1v_i=w_i,T_1v_j=0,i=2,\cdots,m;j=m+1,\cdots,n\]和\[ T_2v_1=w_1,T_2v_2=0,T_2v_i=w_i,T_2v_j=0,i=3,\cdots,m;j=m+1,\cdots,n. \]则 $T_1,T_2\in \{T\in\mathcal L(V,W): T\text { 不是满射}\}$. 但是, 我们有 \[ (T_1+T_2)v_1=w_1,(T_1+T_2)v_2=w_2,(T_1+T_2)v_i=2w_i,i=3,\cdots,m; \]于是由第3题(a)问可知 $T_1+T_2$ 是满射. 因此 $\{T\in\mathcal L(V,W): T\text { 不是满射}\}$ 对于加法不封闭. 这说明它不是 $\mathcal L(V,W)$ 的线性子空间.


第9题解答: 假设存在数 $a_1,\cdots,a_n$ 使得\[\sum_{i=1}^n a_iTv_i=0.\]因为 $T\in\mathcal L(V,W)$ 是线性映射所以我们有\[0=\sum_{i=1}^n a_iTv_i=\sum_{i=1}^n T(a_iv_i)=T(a_1v_1+\cdots+a_nv_n).\]由题目假设可知 $T$ 是单射, 因此可得\[a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0.\]然而 $v_1,\cdots,v_n$ 是线性无关的, 所以 $a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0$ 推出 $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$.

这说明如果\[\sum_{i=1}^n a_iTv_i=0,\]则$a_1=a_2=\cdots=a_n=0$. 换而言之 $Tv_1,\cdots,Tv_n$ 是线性无关的.


第10题解答: 注意到 $v_1$, $\cdots$, $v_n$ 生成 $V$, 所以任意的 $v\in V$ 都能写成 $v_1$, $\cdots$, $v_n$ 的线性组合. 这说明存在数 $a_1$, $\cdots$, $a_n\in\mathbb F$ 使得 \[v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n.\]因为 $T\in\mathcal L(V,W)$, 这说明 \[Tv=a_1Tv_1+\cdots+a_nT_n.\]因此 $\mathrm{range}T\subset\mathrm{span}(Tv_1,\cdots,Tv_n)$.

另一方面, $Tv_1$, $\cdots$, $Tv_n$ 显然包含在 $\mathrm{range}T$ 里. 由定义知 $Tv_1$, $\cdots$, $Tv_n$ 生成 $\mathrm{range}T$.


第11题解答: 我们对 $n$ 进行数学归纳法.

显然当 $n=1$ 的时候, 命题成立.

假设命题对 $n$ 成立, 我们来证明对 $n+1$ 也成立. 设存在一个向量 $v$ 使得 $S_1S_2\cdots S_{n}S_{n+1}v=0$. 这说明\[0=S_1(S_2\cdots S_{n}S_{n+1}v)=0,\]由于 $S_1$ 是单射, 因此只能是 $S_2\cdots S_{n}S_{n+1}v=0$.

然而由归纳假设我们知道, $S_2\cdots S_{n}S_{n+1}$ 也是单射, 从而可知 $v$ 只能是零向量. 这说明如果 $S_1S_2\cdots S_{n}S_{n+1}v=0$, 则 $v$ 是零向量. 换而言之, $S_1S_2\cdots S_{n}S_{n+1}$ 是单射.

因此由数学归纳法知命题得证.


第14题解答: 由 3.22, 我们有\[\dim\mathrm{null} T+\dim\mathrm{range}T=\dim({\mathbb R}^8)=8.\]注意到 $\mathrm{null} T = U$ 和 $\dim U=3$, 可得\[\dim\mathrm{range}T=8-\dim\mathrm{null} T=8-3=5=\dim({\mathbb R}^5).\]因此由习题2.C第一题可知 $T$ 是满射.


第17题解答: 由 3.22 可知对任意的单射 $T\in\mathcal L(V,W)$, 我们有\[\dim V=\dim \mathrm{null}T+\dim\mathrm{range}T=\dim\mathrm{range}T\leqslant\dim W.\]因此如果存在从 $V$ 到 $W$的单线性映射, 则 $\dim V \leqslant \dim W$.

反过来, 如果 $n=\dim V \leqslant \dim W=m$, 则我们可以设 $v_1$, $\cdots$, $v_n$ 为 $V$ 的一组基, $w_1$, $\cdots$, $w_m$ 为 $W$ 的一组基. 定义如下线性映射 $T\in\mathcal L(V,W)$:\[ Tv_i=w_i,\quad i =1,\cdots,n. \]这里我们需要用到 $n\leqslant m$. 和习题3.B.3(b)类似, 我们可以证明 $T$ 是单的.

更具体一点(类似习题3.B.9), 设 $v$ 使得 $Tv=0$. 因为 $v_1$, $\cdots$, $v_n$ 为 $V$ 的一组基, 所以存在数 $a_1,\cdots,a_n$ 使得\[v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n.\]由于 $Tv=0$, 我们有\[0=Tv=T(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)=a_1w_1+a_nw_n.\]但是 $w_1$, $\cdots$, $w_m$ 为 $W$ 的一组基, 因此线性无关, 所以只能是 $a_1=\cdots=a_n=0$. 于是 $v=0$, 从而 $T$ 是单射.


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