线性代数应该这样学第三版习题解答3.C

第1题解答: 假设存在 $V$ 的一组基 $v_1$, $\cdots$, $v_n$ 和 $W$ 的一组基 $w_1$, $\cdots$, $w_m$ 使得 $T$ 关于它们的矩阵表示最多只有 $\dim \mathrm{range} T-1$ 个非零元素. 则在 $Tv_1$, $\cdots$, $Tv_n$ 中存在最多 $\dim \mathrm{range} T-1$ 个非零向量 (因为矩阵 $\mathcal M(T)$ 有最多 $\dim \mathrm{range} T-1$ 列不为零向量).

注意到 $\mathrm{range} T=\mathrm{span}(Tv_1,\cdots,Tv_n)$, 这说明\[\dim \mathrm{range} T\le \dim \mathrm{range} T-1.\]矛盾! 从而命题得证.


第2题解答: 取 $\mathcal P(\mathbb R^3)$ 得一组基为 $x^3$, $x^2$, $x$, $1$. 对应的 $\mathcal P(\mathbb R^2)$ 的基为 $3x^2$, $2x$, $1$. 很容易验证它们满足条件.

注意, 这里我们要按照相同的顺序取它们, 如果顺序错乱了对应的矩阵会不同.


第3题解答: 我们将在 3.22 的证明扩展一下, 所以我们这里用与那里一样的符号.

将 $Tv_1$, $\cdots$, $Tv_n$ 扩展为 $W$ 的一组基 $Tv_1$, $\cdots$, $Tv_n$, $\mu_1$, $\cdots$, $\mu_s$ (注意这里 $s$ 可以为零). 则关于 $V$ 的一组基 $v_1$, $\cdots$, $v_n$, $u_1$, $\cdots$, $u_m$ 和 $W$ 的一组基 $Tv_1$, $\cdots$, $Tv_n$, $\mu_1$, $\cdots$, $\mu_s$, $\mathcal M(T)$ 除了主对角线前 $\dim \mathrm{range} T$ 个元素, 其余都是零元素.

我没有说得特别详细, 请想清楚为什么.


第4题解答: 如果 $Tv_1=0$, 那么对任意的 $W$ 的基 $w_1$, $\cdots$, $w_n$, $\mathcal M(T)$ 的第一列元素全为零.

如果 $Tv_1\ne 0$, 则取 $W$ 的一组基 $w_1$, $\cdots$, $w_n$ 使得 $w_1=Tv_1$ (因此 $Tv_1\ne 0$, 所以总是可以扩展 $Tv_1$ 为 $W$ 的一组基). 在这样的一组基下, $\mathcal M(T)$ 的第一列元素除了第一个为 1 其余全为零.


第5题解答: 设 $\nu_1$, $\cdots$, $\nu_m$ 为 $V$ 的一组基. 设 $\mathcal M(T)$ 关于基 $\nu_1$, $\cdots$, $\nu_m$ 和基 $w_1$, $\cdots$, $w_n$ 的矩阵的第一行为 $(a_1,\cdots,a_m)$.

如果 $(a_1,\cdots,a_m)=0$, 则我们取 $v_i=\nu_i$, $i=1,\cdots,m$, 即可.

如果 $(a_1,\cdots,a_m)\ne 0$. 不妨设 $a_i\ne 0$. 则令 \[ v_1=\frac{\nu_i}{a_i},\quad v_j=\nu_{j-1}-a_{j-1}v_1,\quad v_k=\nu_k-a_kv_1 \]其中 $j=2,\cdots,i$, $k=i+1,\cdots,m$.

现在不难验证 $\mathcal M(T)$ 关于基$v_1$, $\cdots$, $v_m$ 和基 $w_1$, $\cdots$, $w_n$ 的矩阵的第一行满足题目条件.


第6题解答: 假设存在 $V$ 的一组基 $v_1$, $\cdots$, $v_m$ 和 $W$ 的一组基 $w_1$, $\cdots$, $w_n$ 使得在这两组基下矩阵 $\mathcal M(T)$ 的所有元素都为 $1$. 则 \[Tv_i=w_1+\cdots+w_n,\quad i=1,\cdots,m.\]因此 $\mathrm{range} T=\mathrm{span}(w_1+\cdots+w_n)$, 从而推出 $\dim \mathrm{range} T = 1$.

反过来, 若已知 $\dim \mathrm{range} T = 1$, 则 $\dim \mathrm{null} T =\dim V-1$. 设 $\nu_1$, $\nu_2$, $\cdots$, $\nu_m$ 为 $V$ 的一组基并且\[\nu_2, \cdots, \nu_m\in \mathrm{null} T.\] 注意到$T\nu_1\ne0$, 因此我们可以将其扩展为 $W$ 的一组基 $T\nu_1$, $w_2$, $\cdots$, $w_n$. 设 $w_1=T\nu_1-w_2-\cdots-w_n$ 和 $v_1=\nu_1$, $v_i=\nu_i+\nu_1$ 其中 $i=2,\cdots,m$. \[ T(v_1)=T(v_i)=w_1+w_2+\cdots+w_n,\quad i=2,\cdots,m. \]显然可知 $v_1$, $\cdots$, $v_m$ 为 $V$ 的一组基而 $w_1$, $\cdots$, $w_n$ 为 $W$ 的一组基. 现在我们可以直接验证在这两组基下, 矩阵$\mathcal M(T)$ 的所有元素都为 $1$.


第7题解答: 给定 $V$ 的一组基 $v_1$, $\cdots$, $v_m$ 和 $W$ 的一组基 $w_1$, $\cdots$, $w_n$. 设 $\mathcal M(T)$ 和 $\mathcal M(S)$ 关于它们这两组基对应的矩阵分别为 $A$ 和 $B$.

那么我们有\[ Tv_j=\sum_{k=1}^n A_{k,j}w_k \quad\text{和}\quad Sv_j=\sum_{k=1}^n B_{k,j}w_k.\]因此 \[ (T+S)v_j=Tv_j+Sv_j=\sum_{k=1}^n (A_{k,j}+B_{k,j})w_k, \]由此可知 $\mathcal M(T+S)$ 在这两组基下第 $k$ 行, 第 $j$ 列的元素为 $A_{k,j}+B_{k,j}$. 由 3.35 我们可知\[\mathcal M(T+S)=\mathcal M(T)+\mathcal M(S).\]


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