线性代数应该这样学第三版习题解答5.A

第1题解答: (a) 对任意的 $u\in U$, 因为 $U\subset \mathrm{null} T$, 所以我们有 $Tu=0\in U$. 从而 $U$ 在 $T$ 作用下不变.

(b) 对任意的 $u\in U$, 我们有 $Tu\in\mathrm{range} T \subset U$, 因此 $U$ 在 $T$ 作用下不变.


第7题解答: 设 $(x,y)$ 为 $T$ 的特征向量, 其对应特征值为 $\lambda$, 则我们有 $$T(x,y)=\lambda(x,y),$$ 即, $(\lambda x,\lambda y)=(-3y,x)$. 因此我们得到等式 $\lambda x=-3y$ 和 $\lambda y=x$, 由此可得等式 $\lambda^2xy=-3xy$. 如果 $xy\ne 0$, 那么 $\lambda^2=-3$, 这显然不可能 (因为 $\lambda$ 是实数).

如果 $x=0$, 那么由 $\lambda x=-3y$ 可知 $y=0$. 但是 $(x,y)$ 是特征向量, 因此 $(x,y)\ne (0,0)$. 我们得到矛盾.

如果 $y=0$, 那么由$\lambda y=x$ 可知 $x=0$ . 同理我们可到矛盾. 综上所述, $T$ 的特征向量不存在, 也就是说 $T$ 没有特征值.


第11题解答: 设 $\lambda$ 为 $T$ 的特征值, 其对应特征向量为 $q$, 那么我们由 $$q’=Tq=\lambda q.$$ 注意到对于非零多项式 $p$, 我们有 $\deg p’$ 严格小于 $\deg p$ ( 因为我们默认 $\deg 0=-\infty$).

如果 $\lambda\ne 0$, 那么 $\deg \lambda q=\deg q’$. 从而得到矛盾.

如果 $\lambda=0$, 这说明 $q=c$ , 其中 $c$ 是非零实数. 因此 $T$ 的特征值只能是零, 并且其对应的特征向量为非零常数多项式.


第12题解答: 假设 $\lambda$ 是 $T$ 的一个特征值, 其对应特征向量为 $q$. 设 $q=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$, 其中 $a_n\ne 0$, 则 $$\lambda q=Tq=xq’,$$ 即 $$\lambda a_nx^n+\cdots+\lambda a_1x+\lambda a_0=na_nx^n+\cdots+2a_2x^2+a_1x.$$ 因为 $a_n\ne 0$, 通过对比首相系数可知 $\lambda =n$. 因此我们有 $a_0=a_1=\cdots=a_{n-1}=0$, 从而 $q=a_nx^n$. 综上所述, $T$ 的特征是为 $0,1,2,\cdots$, 并且对应 $m$ 的特征向量为 $k x^m$, 其中 $m\in \mathbb{N}$, $k$ 为非零实数.


第13题解答: 设 $\alpha_i\in\mathbb F$ 使得 $$ \left|\alpha_i-\lambda\right| = \frac{1}{1000+i},\quad i=1,\cdots,\dim V+1. $$ 因为这里的域 $F=\mathbb R$ 或者 $\mathbb C$, 这样的 $\alpha_i$ 存在并且它们两两不同. 注意到对任意的作用在 $V$ 上的算子, 由 5.13 可知, 它最多只有 $\dim V$ 个不同的特征值 . 因此必然存在 $i\in\{1,2,\cdots,\dim V+1\}$ 使得 $\alpha_i$ 不是 $T$ 的特征值. 于是由 5.6 可知, $T-\alpha_i I$ 可逆.


第14题解答: 因为 $V=U\oplus W$, 所以任意的 $v\in V$ 都可以被唯一的写成 $u+w$ 的形式, 其中 $u \in U$, $w \in W$. 由此可知 $P$ 是良性定义的. 现在我们来考虑 $P$ 的特征值. 考虑一个非零向量 $v\ne 0$, 假设存在数 $\lambda\in\mathbb F$ 使得 $Pv=\lambda v$. 注意到 $v=u+w$, 其中 $u \in U$, $w \in W$, 因此 $u$ 和 $w$ 不能同时为零. 从而由 $P$ 的定义我们有 $$Pv=u,\quad \lambda v=\lambda u+\lambda w.$$ 由此可得 $u=\lambda u+\lambda w$, 也就是说 $(\lambda-1)u+\lambda w=0$. 注意到 $V=U\oplus W$, 因此 $(\lambda-1)u=\lambda w=0$. 如果 $u\ne 0$, 则 $\lambda =1$. 因此 $w=0$, 并且它对应的特征向量 $U$ 中的非零向量. 如果 $w\ne 0$, 则 $\lambda =0$. 因此 $u=0$, 并且它对应的特征向量 $W$ 中的非零向量.


第15题解答: (a) 设 $\lambda$ 为 $T$ 的一个特征值, 那么存在非零向量 $v\in V$ 使得 $Tv=\lambda v$. 因此 \[S^{-1}TS(S^{-1}v)=S^{-1}Tv=S^{-1}(\lambda v)=\lambda S^{-1}v.\] 注意到因为 $S^{-1}$ 可逆, 所以 $S^{-1}v\ne 0$. 从而 $\lambda$ 使 $S^{-1}TS$ 的特征值, 也就是说任意 $T$ 的特征值也是 $S^{-1}TS$ 的特征值. 类似地, 注意到 $S(S^{-1}TS)S^{-1}=T$, 我们有 $S^{-1}TS$ 的特征值都是 $T$ 的特征值. 因此 $T$ 和 $S^{-1}TS$ 有同样的特征值.

(b) 在 (a) 的证明过程中, 很容易发现如果 $v$ 是 $T$ 的特征向量当且仅当 $S^{-1}v$ 是 $S^{-1}TS$ 的特征向量.


第18题解答: 设 $\lambda$ 为 $T$ 的特征值并且其对应的特征向量为 $(w_1, w_2,\cdots)$. 那么不是所有的 $w_i$ 都为零. 并且我们有 \[(0,w_1, w_2,\cdots)=T(w_1, w_2,\cdots)=\lambda(w_1, w_2,\cdots).\]如果 $\lambda=0$, 那么由 \[ (0,w_1, w_2,\cdots)=0 \]可推出 $w_i\equiv 0$ 对任意的 $i\in\mathbb N^+$. 我们得到矛盾.

如果 $\lambda\ne 0$. 考虑第一个元素, 我们有 $0=\lambda w_1$, 因此 $w_1=0$. 然后考虑第二个元素, 我们有 $\lambda w_2=w_1=0$, 因此 $w_2=0$. 利用数学归纳法, 我们可以很容易证明 $w_i\equiv 0$ 对任意的 $i\in\mathbb N^+$ 都成立. 同理得到矛盾.

综上所述, $T$ 没有特征值.


第22题解答: 注意到我们有\[ T(v+w)=Tv+Tw=3w+3v=3(v+w), \]和\[T(v-w)=Tv-Tw=3w-3v=-3(v-w).\]如果 $v-w$ 或者 $v+w$ 不为零, 那么 $3$ 或者 $-3$ 是 $T$ 的特征值.

事实上如果 $v-w=0$ 并且 $v+w=0$, 很容易证明 $v=w=0$. 这和 $v\ne 0$ 且 $w\ne 0$ 矛盾.


第28题解答: 对任意的非零向量 $v\in V$, 我们可以将之扩充为 $V$ 的一组基 $v=v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_n$. 那么 \[Tv_1=\sum_{k=1}^n\lambda_kv_k.\]考虑 $U=\mathrm{span}(v_1,v_2)$, 因为由假设有 $U$ 在 $T$ 作用下不变. 因此 $Tv_1\in U$. 这说明 $\lambda_3=\cdots=\lambda_n=0$.

类似地, 考虑 $U=\mathrm{span}(v_1,v_3)$ (注意到 $\dim V \ge 3$), 我们可以推出 $\lambda_2=\lambda_4=\cdots=\lambda_n=0$. 从而 $\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0$. 这意味着 $v_1$ 是 $T$ 的特征向量.

因为我们是任取的 $v$, 这说明任意 $V$ 的非零向量都是 $T$ 的特征向量. 由第 26 题可知 $T$ 只能是数乘算子.


第30题解答: 注意到由 5.13 可知 $T$ 最多只有 $\dim(\mathbb R^3)=3$ 个特征值. 由于 $4$, $5$, 和 $\sqrt{7}$ 是 $T$ 的特征值, 由此可知 $9$ 不是 $T$ 的特征值. 于是由 5.6 可知 $(T-9I)$ 是满射. 因此存在 $x\in\mathbb R^3$ 使得 $(T-9I)x=(4,5,\sqrt{7})$, 也就是说 $Tx-9x=(4,5,\sqrt{7})$.


第31题解答: 如果存在 $T\in \mathcal L(V)$ 使得 $v_1$, $\cdots$, $v_m$ 为 $T$ 的对应不同的特征值的特征向量. 那么由 5.10 可知 $v_1$, $\cdots$, $v_m$ 是线性无关的.

反过来, 如果 $v_1$, $\cdots$, $v_m$ 是线性无关的. 那么我们可以将其扩充为 $V$ 的一组基 $v_1$, $\cdots$, $v_m$, $v_{m+1}$, $\cdots$, $v_n$. 定义 $T\in \mathcal L(V)$ 如下 \[Tv_i=iv_i,\quad i=1,\cdots,n.\]那么 $v_1$, $\cdots$, $v_m$ 是 $T$ 的特征值, 并且它们对应的特征值分别为 $1$, $\cdots$, $m$.


第32题解答: 设 $V=\mathrm{span}($ $e^{\lambda_1 x}$, $\cdots$, $e^{\lambda_n x})$, 并且定义一个算子 $T\in \mathcal L(V)$ 如下 $Tf=f’$ (请验证 $T\in \mathcal L(V)$). 然后注意到 \[Te^{\lambda_i x}=\lambda_ie^{\lambda_i x}.\]因此 $\lambda_i$ 是 $T$ 的特征值并且其对应特征向量为 $e^{\lambda_i x}$.

因为 $\lambda_1$, $\cdots$, $\lambda_n$ 两两互不相同, 由 5.10 可知 $e^{\lambda_1 x}$, $\cdots$, $e^{\lambda_n x}$ 线性无关.


第33题解答: 由定义可知对任意的 $x+\mathrm{range} T\in V/(\mathrm{range} T )$, 我们有 \[ T/(\mathrm{range} T )(x+\mathrm{range} T)=Tx+\mathrm{range} T. \]注意到 $Tx\in \mathrm{range} T$, 因此 $T/(\mathrm{range} T )(x+\mathrm{range} T)=0$.

因为我们是任意选取的 $x+\mathrm{range} T$, 由此可以推出 $T/(\mathrm{range} T )=0$.


第34题解答: 由定义可知对任意的 $x+\mathrm{null} T\in V/(\mathrm{null} T )$, 我们有\[ T/(\mathrm{null} T )(x+\mathrm{null} T)=Tx+\mathrm{null} T. \]因此 $T/(\mathrm{null} T )$ 是单射当且仅当 \[Tx\in \mathrm{null} T\iff x\in\mathrm{null}T.\]注意到命题\[Tx\in \mathrm{null} T\iff x\in\mathrm{null}T\]等价于 $\mathrm{null} T\cap\mathrm{range} T=\{0\}$. 这是因为, 如果我们假设 $Tx\in \mathrm{null} T\iff x\in\mathrm{null}T$, 那么对任意的 $v\in\mathrm{null} T\cap\mathrm{range} T$, 存在 $u\in V$ 使得 $Tu=v$. 因为 $Tu\in \mathrm{null} T$, 所以 $u\in\mathrm{null}T$. 于是 $v=Tu=0$.

反过来, 假设 $\mathrm{null} T\cap\mathrm{range} T=\{0\}$, 如果 $x\in\mathrm{null} T$, 则 $Tx=0\in \mathrm{null} T$. 如果 $Tx\in \mathrm{null} T$, 那么 $Tx\in \mathrm{null} T\cap\mathrm{range} T$. 于是 $Tx=0$, 也就是说 $x\in\mathrm{null}T$. 证毕!


第35题解答: 假设 $\lambda\in\mathbb F$ 是 $T/U$ 的一个特征值, 我们只需要证明 $\lambda$ 也是 $T$ 的特征值. 由假设可知存在非零向量 $x+U\in V/U$ (也就是说 $x\not\in U$) 使得 \[(T/U)(x+U)=\lambda(x+U)\Longrightarrow Tx-\lambda x\in U.\]如果 $\lambda$ 是 $T|_U$ 的特征值, 那么问题已经得证.

如果 $\lambda$ 不是 $T|_U$ 的特征值, 那么由 5.6 可知 $T|_U-\lambda I:U\to U$ 可逆, 这里我们用到了 $\dim V < \infty$. 因此由 $Tx-\lambda x\in U$ 存在 $y\in U$ 使得 \[ (T|_U-\lambda I)y=Tx-\lambda x\Longrightarrow Ty-\lambda y=Tx-\lambda x. \]于是我们有 \[ T(x-y)=\lambda(x-y), \]并且由于 $x\not\in U$ 和 $y\in U$ 有 $x-y\ne 0$. 由此可以推出 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值.


第36题解答: 在第 32 题中, 我们证明了 $1=e^{0x}$, $e^x$, $e^{2x}$, $\cdots$ 在 $R$ 上的实函数空间中是线性无关的. 考虑 $V=\mathrm{span}(1,e^x,e^{2x},\cdots)$ 和 $U=\mathrm{span}(e^x,e^{2x},\cdots)$, 那么 $U$ 和 $V$ 是 $R$ 上的实函数空间的子空间.

定义 $T\in\mathcal L(V)$ 如下: $T(f)=e^xf$. 不难验证 $T\in \mathcal L(V)$ 并且 $U$ 在 $T$ 的作用下不变. 考虑商算子 $T/U$, 我们有 \[(T/U)(1+U)=e^x+U=0.\]因为 $1\not\in U$, 由此可知 $0$ 是 $T/U$ 的特征值. 但是 $0$ 不是 $T$ 的特征值. 我们反证之.

假设 $0$ 不是 $T$ 的特征值, 那么存在一个非零函数 $f\in V$ 使得 $Tf=0$, 于是我们有 $e^xf=0$. 因为对任意的实数 $x$, 我们都有 $e^x\ne 0$. 这说明 $f\equiv 0$, 也就是说 $f$ 是零函数. 从而得到矛盾!

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