线性代数应该这样学第三版习题解答5.B

第一题解答: (a) 注意到 \[ (I-T)(I+T+\cdots+T^{n-1})=I-T^n=I \]和\[ (I+T+\cdots+T^{n-1})(I-T)=I-T^{n}=I ,\](实际上我们只需要验证一个即可) 由此可知 $I-T$ 是可逆的并且 \[(I-T)^{-1}=I+T+\cdots+T^{n-1}.\] (b) 通过平常经常使用的公式 \[1-x^n=(1-x)(1+x+\cdots+x^{n-1}).\]


第二题解答: 设 $v$ 是的特征向量 $T$, 其对应特征值为 $\lambda$, 那么我们有 $Tv=\lambda v$. 类似地, 我们有 \[T^2v=T(\lambda v)=\lambda^2 v\quad T^3v=T(\lambda^2 v)=\lambda^3 v,\]以及 $T^nv=\lambda^n v$ 对任意的 $n\in \mathbb N^+$. 这说明对任意的多项式 $p$, 我们有 $p(T)v=p(\lambda)v$. 因此 \[0=(T-2I)(T-3I)(T-4I)v=(\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda-4)v.\]因为 $v\ne 0$, 由此可知 \[(\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda-4)=0.\]也就是说 $\lambda=2$ 或者 $\lambda=3$ 或者 $\lambda=4$.


第三题解答: 注意到对任意的 $v\in V$, 我们有 \begin{equation}\label{5BP31}v=\frac{1}{2}(v-Tv)+\frac{1}{2}(v+Tv).\end{equation} 因为 $T^2-I$, 由此可知 \[(T+I)\left(\frac{1}{2}(v-Tv)\right)=\frac{1}{2}(I-T^2)v=0.\]因此 $\frac{1}{2}(v-Tv)\in \mathrm{null}(T+I)$. 类似地, 我们有 \[ \frac{1}{2}(v+Tv)\in \mathrm{null}(T-I). \] 由 $(\ref{5BP31})$可知 $V=\mathrm{null}(T-I)+\mathrm{null}(T+I)$. 但是, $-1$ 不是 $T$ 的特征值. 因此 $\mathrm{null}(T+I)=\{0\}$. 从而 $V=\mathrm{null}(T-I)$. 这说明 $T=I$, 这是因为对任意的 $v\in V$ 我们有 $Tv-v=(T-I)v=0$.


第四题解答: 注意到对任意的 $v\in V$, 我们有 \begin{equation}\label{5BP41} v=Pv+(v-Pv). \end{equation} 显然 $Pv\in\mathrm{range}P$. 因为 $P^2=P$, 因此 $P(v-Pv)=(P-P^2)v=0$. 从而 $v-Pv\in\mathrm{null}P$. 由 $(\ref{5BP41})$ 可知 $V=\mathrm{null}P+ \mathrm{range}P$. 设 $v\in \mathrm{null}P\cap \mathrm{range}P$, 则存在 $u\in V$ 使得 $Pu=v$. 并且 $Pv=0$. 因此\[0=Pv=P(Pu)=P^2u=Pu=v.\]这推出 $\mathrm{null}P\cap \mathrm{range}P=\{0\}$. 因此 $V=\mathrm{null}P\oplus \mathrm{range}P$.


第六题解答: 注意到 $TU\subset U$, 不难证明 $T^n U\subset U$ 对任意的 $n\in\mathbb N^+$ 都成立. 因为 $U$ 是线性空间, 所以 $\lambda T^n U\subset U$ 对任意的 $\lambda\in\mathbb F$ 都成立. 如果我们假设对任意的次数不大于 $n-1$ 的多项式 $p\in\mathcal P(\mathbb F)$, $U$ 都在 $p(T)$ 下不变. 那么我们可以证明对任意的次数不超过 $n$ 的多项式 $q$, $U$ 在 $q(T)$ 下不变. 设 $q=\sum_{k=0}^n a_kx^k$, 那么 \begin{align*} q(T)U=&\left(\sum_{k=0}^n a_kT^k\right)U=\left(\sum_{k=0}^{n-1} a_kT^k\right)U+a_nT^nU\\ \subset&U+U=U. \end{align*} 因为 $U+U=U$ (习题1C.15). 所以 $U$ 在 $q(T)$ 下不变. 由数学归纳法, 我们可以推出对任意的多项式 $p\in\mathcal P(\mathbb F)$, $U$ 在 $p(T)$ 下不变.


第七题解答: 设 $v$ 是的特征向量 $T$, 其对应特征值为 $\lambda$, 由第二题可知我们有 $T^2v=\lambda^2v$. 因此如果 $3$ 或者 $-3$ 是 $T$ 的特征值, 那么 $9$ 是 $T^2$ 的特征值 (因为 $3^2=9$ 和 $(-3)^2=9$). 反过来, 如果 $9$ 是 $T^2$ 的特征值. 那么我们知道 $T^2-9I$ 不是单射, 也就是说 $(T-3I)(T+3I)$ 不是单射. 由习题 3B.11 可知 $T-3I$ 或 $T+3I$ 不是单射. 因此我们推出 $3$ 或者 $-3$ 是 $T$ 的特征值. (这里用到了 5.6, 但是只对有限维的 $V$ 成立.)


第八题解答: 定义 $T\in \mathcal L(\mathbb R^2)$ 如下 \[T(x,y)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}y,\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y\right).\]直接验算可知 $T^4=-I$.

这里我们用到了如下式子 \[ \left( \begin{array}{cc} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \\ \end{array} \right)^n=\left( \begin{array}{cc} \cos n\theta & \sin n\theta \\ -\sin n\theta & \cos n\theta \\ \end{array} \right) \]


第九题解答: 由定义知 $T$ 的特征值必须是域 $\mathbb F$ 里的数, 因此我们可以假设 $p$ 的所有零点都在 $\mathbb F$ 中. 设 $\lambda$ 为 $p$ 的一个零点, 那么由 4.11 可得 $p(z)=(z-\lambda)q(z)$, 其中 $q(z)\in \mathcal P(\mathbb F)$. 假设 $\lambda$ 不是 $T$ 的特征值, 那么 $T-\lambda I$ 是单射. 因此 \[0=p(T)v=(T-\lambda I)q(T)v\]推出 $q(T)v=0$. 然而 $\deg q<\deg p$ 并且 $q$ 非零 (否则 $p$ 为零). 这与 $p$ 的选择矛盾. 因此 $p$ 的每一个零点都是 $T$ 的特征值.


第十题解答: 由第二题的证明可知 $T^nv=\lambda^n v$. 因此对 $p\in \mathcal P(\mathbb F)$, 令 \[p=\sum_{n=0}^ka_nx^n.\]那么 \begin{align*} p(T)v=&\left(\sum_{n=0}^ka_nT^n\right)v =\sum_{n=0}^ka_nT^nv =\sum_{n=0}^ka_n\lambda^nv=p(\lambda)v. \end{align*}


第十三题解答: 假设 $U$ 是 $W$ 的 $T$ 不变子空间并且 $\dim U\leqslant\infty$.

如果 $U\ne \{0\}$, 那么由 5.21 可知 $T|_U$ 有特征值及对应特征向量 $v$ ($v\ne 0$). 也就是说 $T|_U(v)=\lambda v$, 即 $Tv=\lambda v$. 注意到 $v\ne 0$, 我们可以推出 $T$ 有特征值 $\lambda$. 因为 $T\in\mathcal L(W)$ 没有特征值, 所以我们得到矛盾. 因此任意 $W$ 的 $T$ 不变子空间要么是 $\{0\}$ 要么是无限维的.


第十六题解答: 定义 $\varphi:\mathcal P_n(\mathbb C)\to V$ 如下 $\varphi(p)=p(T)v$, 则 $\varphi$ 是一个线性映射 (为什么?). 注意到 $\dim \mathcal P_n(\mathbb C)=n+1$ 和 $\dim V=n$, 由 3.23 可知 $\varphi$ 不是单射. 因此必然存在一个非零多项式 $p\in \mathcal P_n(\mathbb C)$ 使得 $p(T)v=0$. 接下来和 5.21 一样.


第十七题解答: 定义 $\varphi:\mathcal P_{n^2}(\mathbb C)\to \mathcal L(V)$ 如下 $\varphi(p)=p(T)$, 那么 $\varphi$ 是一个线性映射 (为什么?). 注意到 $\dim \mathcal P_{n^2}(\mathbb C)=n^2+1$ 和 $\dim \mathcal L(V)=n^2$, 因此由 3.23 可知 $\varphi$ 不是单射. 因此存在非零的多项式 $p\in \mathcal P_n(\mathbb C)$ 使得 $p(T)=0$. 这说明 $p(T)v=0$. 接下来和 5.21 一样.


第十八题解答: 设 $\lambda_0$ 是 $T$ 的特征值, 那么由 5.6 可知 $T-\lambda_0I$ 不是满射. 因此 $\dim \mathrm{range}(T-\lambda I)\leqslant\dim V$. 注意到 $T$ 只有有限多个特征值, 所以存在数列 $\lambda_n$ 使得 \[ \lim_{n\to\infty}\lambda_n=\lambda_0 \]并且 $\lambda_n$ 都不是 $T$ 的特征值. 于是由 5.6 可知, $T-\lambda_nI$ 是满射. 因此\[\dim \mathrm{range}(T-\lambda_nI)=\dim V.\]这说明 $\lambda_n\to\lambda_0$, 但是 \[f(\lambda_0)\ne\lim_{n\to\infty}f(\lambda_n).\]也就是说 $f$ 不是一个连续函数.


第十九题解答: 注意到 $Tp(T)=p(T)T$, 如果 $\{p(T): p\in\mathcal P(\mathbb F)\}=\mathcal L(V)$, 那么 $ST = TS$ 对任意的 $S\in\mathcal L(V)$ 都成立. 由习题 3D.16 可知 $T$ 必须是一个数量矩阵 (单位矩阵的数乘). 假设 $T=\lambda I$, 那么 \[ \{p(T): p\in\mathcal P(\mathbb F)\}=\{p(\lambda)I:p\in\mathcal P(\mathbb F)\}=\{\mu I:\mu\in\mathbb F\}. \]因为 $\dim V\geqslant 1$, 我们有 \[\dim \mathcal L(V)=(\dim V)^2\]和\[\dim\{p(T): p\in\mathcal P(\mathbb F)\}=1.\]因此\[\{p(T): p\in\mathcal P(\mathbb F)\}\ne\mathcal L(V).\]

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